НОДи НОК в задачах Задача Первую половину пути Ефим ехал со скоростью 16 км/ч., а вторую половину пути ехал 24 км/ч., а Фома ехал весь путь со скоростью 20 км/ч. Кто быстрей…

Для решения задачи, сначала определим, что такое НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное), и как они могут помочь нам в понимании маршрута Ефима и Фомы.

1. Определим путь. Пусть расстояние в одну сторону составляет \( S \) километров. Тогда путь, который проезжают оба персонажа, будет равен \( S \).

2. Время в пути Ефима:

   • Первую половину пути, \( S/2 \), он проехал со скоростью 16 км/ч: \[ t_1 = \frac{S/2}{16} = \frac{S}{32} \text{ часов} \]
   • Вторую половину пути, \( S/2 \), он проехал со скоростью 24 км/ч: \[ t_2 = \frac{S/2}{24} = \frac{S}{48} \text{ часов} \]
   • Общее время, которое потратил Ефим, будет: \[ T_{Ефим} = t_1 + t_2 = \frac{S}{32} + \frac{S}{48} \]

   Для сложения дробей найдём НОК 32 и 48. НОК(32, 48) = 48. Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{S}{32} = \frac{3S}{96}, \quad \frac{S}{48} = \frac{2S}{96} \] \[ T_{Ефим} = \frac{3S}{96} + \frac{2S}{96} = \frac{5S}{96} \text{ часов} \]

3. Время в пути Фомы:

   • Фома ехал весь путь со скоростью 20 км/ч: \[ T_{Фома} = \frac{S}{20} \text{ часов} \]

4. Сравним времена:

   • Приведём дробь \( T_{Фома} \) к общему знаменателю с \( T_{Ефим} \). НОК(20, 96) = 480.
   • Тогда: \[ T_{Фома} = \frac{S}{20} = \frac{24S}{480} \]

   Для \( T_{Ефим} \): \[ \frac{5S}{96} = \frac{25S}{480} \]

5. Сравнение:

   • У нас есть: \[ T_{Ефим} = \frac{25S}{480}, \quad T_{Фома} = \frac{24S}{480} \]

   Теперь видно, что \( T_{Ефим} > T_{Фома} \), что означает, что Фома приехал быстрее.

6. На сколько быстрее?: \[ T_{Ефим} - T_{Фома} = \frac{25S}{480} - \frac{24S}{480} = \frac{1S}{480} \text{ часов} \]

Таким образом, Фома приехал быстрее Ефима на \( \frac{S}{480} \) часов. Если известно значение \( S \), можно подставить и вычислить точное время в пути.