В горизонтально расположенном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения S = 20 см2 находится водород, отделённый от атмосферы подвижным поршнем (см. рисунок). При…
В горизонтально расположенном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения S = 20 см2 находится водород, отделённый от атмосферы подвижным поршнем (см. рисунок). При движении поршня на него действует постоянная сила трения F = 30 Н. Первоначально давление внутри сосуда равно атмосферному давлению P0 = 10° Па, температура водорода То = 280 К. Температуру водорода начинают медленно уменьшать. При какой температуре объём водорода уменьшится на 10 % по сравнению с первоначальным? Ответ выразите в градусах Кельвина, округлите до целых. После охлаждения водорода до температуры, при которой его объём уменьшился на 20 % по сравнению с первоначальным, водород начинают нагревать. При какой температуре объём водорода сравняется с первоначальным? Ответ выразите в градусах Кельвина, округлите до целых. При какой температуре поршень придёт в движение? Ответ выразите в градусах Кельвина, округлите до целых.
Для решения поставленной задачи мы будем использовать закон Бойля-Мариотта и уравнение состояния идеального газа.
- Нахождение температуры, при которой объем водорода уменьшится на 10%:
Исходя из условия задачи, первоначальный объем водорода обозначим как \( V_0 \). Если объем уменьшается на 10%, то новый объем \( V_1 = 0.9 V_0 \).
Согласно закону Бойля-Мариотта (при постоянной температуре и количестве вещества): \[ P_0 V_0 = P_1 V_1 \]
Так как давление атмосферное, то:
- Начальное давление: \( P_0 = 10^5 \, \text{Па} \)
- Конечное давление: \( P_1 = P_0 + F/S \) где \( F = 30 \, \text{Н} \) и \( S = 20 \, \text{см}^2 = 20 \times 10^{-4} \, \text{м}^2 = 0.002 \, \text{м}^2 \).
Вычисим \( P_1 \): \[ P_1 = 10^5 + \frac{30}{0.002} = 10^5 + 15000 = 115000 \, \text{Па} \]
Теперь подставим значения в уравнение: \[ 10^5 V_0 = 115000 (0.9 V_0) \]
Упрощаем: \[ 10^5 = 115000 \times 0.9 \Rightarrow 10^5 = 103500 \]
Поскольку это уравнение связывает давление и объем без учета температуры, можно воспользоваться модификацией закона Бойля с использованием температур: \[ \frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{P_1 V_1}{T_1} \]
Подставим известные величины: \[ \frac{10^5 V_0}{280} = \frac{115000 \times 0.9 V_0}{T_1} \]
Сократим \( V_0 \): \[ \frac{10^5}{280} = \frac{115000 \times 0.9}{T_1} \]
Теперь выразим \( T_1 \): \[ T_1 = \frac{115000 \times 0.9 \times 280}{10^5} \]
После расчетов получаем: \[ T_1 \approx \frac{115000 \times 252}{10^5} \approx 289.8 \, \text{К} \approx 290 \, \text{К} \]
- Нахождение температуры, при которой объем водорода уменьшится на 20%:
Теперь объем уменьшится на 20%, значит \( V_2 = 0.8 V_0 \). Повторим процедуру:
\[ P_2 = P_0 + F/S = 115000 + 15000 = 130000 \, \text{Па} \] Используем аналогичное уравнение: \[ \frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{P_2 V_2}{T_2} \]
Подставляя известные значения: \[ \frac{10^5}{280} = \frac{130000 \times 0.8 V_0}{T_2} \]
Сократим \( V_0 \): \[ \frac{10^5}{280} = \frac{104000}{T_2} \]
Теперь выразим \( T_2 \): \[ T_2 = \frac{104000 \times 280}{10^5} \]
После расчетов получаем: \[ T_2 \approx 291.2 \, \text{К} \approx 291 \, \text{К} \]
- Нахождение температуры, при которой поршень начнёт двигаться:
Для того чтобы поршень начал двигаться, давление внутри сосуда должно стать равным атмосферному, то есть:
\[ P = P_0 = 10^5 \, \text{Па} \]
По закону Бойля получаем: \[ \frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{P_0 V_0}{T_3} \]
Сократив \( V_0 \) и \( P_0 \), получаем: \[ \frac{1}{280} = \frac{1}{T_3} \]
Следовательно, \( T_3 = 280 \, \text{К} \).
Таким образом, итоговые ответы:
- Температура при уменьшении объема на 10%: 290 К
- Температура при уменьшении объема на 20%: 291 К
- Температура, при которой поршень начнет двигаться: 280 К.
