Найди производную: 1)y = 1/2sin(2x-x) 2)y = 1/x^2 -4x+7 3)y = e^(6x^2-4) 4)y = Корень из 2-6x+5x^2 5)y = (3-8x^3)^10
Давайте найдем производные для каждого из предложенных вами уравнений. Я постараюсь сделать это как можно более понятным и детальным.
\(y = \frac{1}{2} \sin(2x - x)\)
Для нахождения производной этой функции, воспользуемся правилом производной синуса и правилом цепочки. Упростим сначала функцию:
\[ y = \frac{1}{2} \sin(x) \]
Теперь применяем правило производной:
\[ y' = \frac{1}{2} \cos(x) \cdot \frac{d}{dx}(x) = \frac{1}{2} \cos(x) \]
\(y = \frac{1}{x^2} - 4x + 7\)
Для нахождения производной:
Для первой части, \(\frac{1}{x^2}\), используем правило производной степени:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \]
Для второго члена \(-4x\) производная будет \(-4\), а для постоянного члена \(7\) производная равна \(0\).
Суммируя все это, получаем:
\[ y' = -\frac{2}{x^3} - 4 \]
\(y = e^{(6x^2 - 4)}\)
Здесь используем правило производной экспоненты и правило цепочки:
\[ y' = e^{(6x^2 - 4)} \cdot \frac{d}{dx}(6x^2 - 4) = e^{(6x^2 - 4)} \cdot (12x) \]
Таким образом, получаем:
\[ y' = 12x e^{(6x^2 - 4)} \]
\(y = \sqrt{2 - 6x + 5x^2}\)
Сначала упростим выражение, используя правило производной корня:
\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2 - 6x + 5x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(2 - 6x + 5x^2) \]
Производная выражения под корнем:
\[ \frac{d}{dx}(2 - 6x + 5x^2) = -6 + 10x \]
Теперь подставим это в выражение для производной:
\[ y' = \frac{-6 + 10x}{2\sqrt{2 - 6x + 5x^2}} \]
\(y = (3 - 8x^3)^{10}\)
Снова используем правило производной для степени и правило цепочки:
\[ y' = 10(3 - 8x^3)^9 \cdot \frac{d}{dx}(3 - 8x^3) \]
Производная внутреннего выражения:
\[ \frac{d}{dx}(3 - 8x^3) = -24x^2 \]
В результате получаем:
\[ y' = 10(3 - 8x^3)^9 \cdot (-24x^2) = -240x^2(3 - 8x^3)^9 \]
Теперь у нас есть производные для всех заданных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!
