Игорь и Паша красят забор за 8 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 9 часов, а Володя и Игорь за 24 часа. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?
Для решения этой задачи давайте сначала определим производительность каждого мальчика по отдельности. Обозначим:
- \( A \) — производительность Игоря,
- \( B \) — производительность Паши,
- \( C \) — производительность Володи.
Игорь и Паша красят забор за 8 часов: \[ A + B = \frac{1}{8} \]
Паша и Володя красят забор за 9 часов: \[ B + C = \frac{1}{9} \]
Володя и Игорь красят забор за 24 часа: \[ C + A = \frac{1}{24} \]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений:
- \( A + B = \frac{1}{8} \)
- \( B + C = \frac{1}{9} \)
- \( C + A = \frac{1}{24} \)
Теперь будем решать эту систему уравнений.
Сначала выразим \( A \) из первого уравнения: \[ A = \frac{1}{8} - B \]
Подставим это значение в третье уравнение: \[ C + \left(\frac{1}{8} - B\right) = \frac{1}{24} \] Получим: \[ C - B = \frac{1}{24} - \frac{1}{8} \] Приведем к общему знаменателю (24): \[ C - B = \frac{1}{24} - \frac{3}{24} = -\frac{2}{24} = -\frac{1}{12} \] То есть: \[ C = B - \frac{1}{12} \]
Теперь подставим \( C \) в второе уравнение: \[ B + \left(B - \frac{1}{12}\right) = \frac{1}{9} \] Это упрощается до: \[ 2B - \frac{1}{12} = \frac{1}{9} \] Переносим \( -\frac{1}{12} \) в правую часть: \[ 2B = \frac{1}{9} + \frac{1}{12} \] Приведем дроби к общему знаменателю (36): \[ 2B = \frac{4}{36} + \frac{3}{36} = \frac{7}{36} \] Следовательно, \[ B = \frac{7}{72} \]
Теперь, подставим значение \( B \) обратно, чтобы найти \( A \) и \( C \): \[ A = \frac{1}{8} - \frac{7}{72} \] Приведем к общему знаменателю (72): \[ A = \frac{9}{72} - \frac{7}{72} = \frac{2}{72} = \frac{1}{36} \]
Теперь найдём \( C \): \[ C = B - \frac{1}{12} = \frac{7}{72} - \frac{6}{72} = \frac{1}{72} \]
Теперь у нас есть производительности всех троих:
- \( A = \frac{1}{36} \)
- \( B = \frac{7}{72} \)
- \( C = \frac{1}{72} \)
Теперь вычислим совместную производительность \( A + B + C \): \[ A + B + C = \frac{1}{36} + \frac{7}{72} + \frac{1}{72} \] Приведём дроби к общему знаменателю (72): \[ \frac{1}{36} = \frac{2}{72}, \quad A + B + C = \frac{2}{72} + \frac{7}{72} + \frac{1}{72} = \frac{10}{72} = \frac{5}{36} \]
Таким образом, совместная производительность трёх мальчиков составляет \( \frac{5}{36} \) заборов в час. Теперь найдем, сколько времени они потратят на покраску одного забора: \[ \text{Время} = \frac{1}{\frac{5}{36}} = \frac{36}{5} \text{ часов} \] Чтобы получить результат в минутах, умножим на 60: \[ \frac{36}{5} \times 60 = 432 \text{ минут} \]
Таким образом, мальчики покрасят забор, работая втроём, за 432 минуты.
