В треугольнике A B C дано: A B = 9 ⋅ √ 6 , ∠ B = 45 0 , ∠ C = 60 0 . Найдите сторону A C .

Чтобы найти сторону \( AC \) в треугольнике \( ABC \) с данными:

• \( AB = 9\sqrt{6} \)
• \( \angle B = 45^\circ \)
• \( \angle C = 60^\circ \)

Сначала нам нужно найти угол \( A \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \):

\[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \]

Теперь мы можем использовать теорему синусов, которая говорит нам, что отношение длины стороны к синусу соответствующего угла всегда одинаково:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \). Получаем:

\[ \frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{9\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} \]

Решим это уравнение для \( AC \):

1. Заменим синусы углов:

   • \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   • \( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

2. Подставляем значения в уравнение: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{9\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

3. Упростим правую часть: \[ \frac{9\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 9\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{12} = 9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \]

Теперь мы можем выразить \( AC \): \[ AC = 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{18\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{9\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \]

Итак, сторона \( AC \) равна: \[ AC = \frac{9\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \]