В треугольнике A B C дано: A B = 9 ⋅ √ 6 , ∠ B = 45 0 , ∠ C = 60 0 . Найдите сторону A C .

Для решения данной задачи о треугольнике ABC, где заданы длина стороны AB и два угла (∠B = 45° и ∠C = 60°), используем теорему синусов.

Сначала найдем третий угол треугольника A. Углы треугольника в сумме дают 180°:

∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 45° - 60° = 75°.

Теперь у нас есть все углы треугольника:

• ∠A = 75°
• ∠B = 45°
• ∠C = 60°

По теореме синусов можем записать отношение сторон и углов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где:

• \(a\) — сторона BC,
• \(b\) — сторона AC,
• \(c\) — сторона AB (известная сторона, в данном случае \(c = 9\sqrt{6}\)).

Мы ищем сторону AC (обозначим ее как b). Подставим известные значения:

\[ \frac{b}{\sin 45°} = \frac{9\sqrt{6}}{\sin 60°}. \]

Значения синусов углов:

• \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\),
• \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{9\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]

Упростим:

\[ \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{9\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{6}}{\sqrt{3}}. \]

Так как \(\sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}\), то \(\frac{18\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 18 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 18\sqrt{2}\).

Тогда уравнение становится:

\[ b \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}. \]

Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[ b = 18\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \cdot 2 = 18. \]

Таким образом, длина стороны AC равна \(18\).