В треугольнике A B C дано: A B = 7 , 74 ⋅ √ 2 , ∠ B = 45 0 , ∠ C = 30 0 . Найдите сторону A C .

Давайте рассмотрим данный треугольник \( ABC \) с известными длиной стороны \( AB \) и углами \( \angle B \) и \( \angle C \).

1. Сначала определим угол \( \angle A \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \): \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ. \]

2. Теперь мы можем использовать закон синусов, который говорит, что отношение стороны и синуса противолежащего угла в треугольнике одинаково для всех сторон: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \] где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \) — длины сторон, противоположных углам \( A \), \( B \), и \( C \) соответственно.

3. Зная, что \( c = AB = 7,74 \cdot \sqrt{2} \), \( \angle B = 45^\circ \), и \( \angle A = 105^\circ \), мы можем выразить сторону \( AC \) в виде: \[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin B}. \] Подставим известные значения: \[ \frac{AC}{\sin 105^\circ} = \frac{7,74 \cdot \sqrt{2}}{\sin 45^\circ}. \]

4. Сначала найдем \( \sin 105^\circ \) и \( \sin 45^\circ \):

   • \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   • \( \sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ \).

   Значение \( \cos 15^\circ \) можно найти через формулу: \[ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \]

5. Теперь подставим известные значения: \[ \frac{AC}{\cos 15^\circ} = \frac{7,74 \cdot \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow AC = \frac{7,74 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 15^\circ}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7,74 \cdot 2 \cdot \cos 15^\circ}{\sqrt{2}}. \]

6. Упрощаем: \[ AC = 15,48 \cdot \cos 15^\circ. \]

7. Приблизительное значение \( \cos 15^\circ \approx 0,966 \): \[ AC \approx 15,48 \cdot 0,966 \approx 14,94. \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) составляет примерно \( 14,94 \).