Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора, через ключ K подключен к источнику с ЭДС и внутренним сопротивлением (рис. 3.51). Первоначально ключ замкнут. После установления стационарного режима ключ размыкают и в контуре возникают колебания с периодом . При этом амплитуда напряжения на конденсаторе в раз больше ЭДС батареи. Рассчитать индуктивность катушки и емкость конденсатора. Сопротивлением катушки пренебречь.
Чтобы рассчитать индуктивность катушки и емкость конденсатора в колебательном контуре, давайте сначала вспомним основные формулы и принципы, которые относятся к данной задаче.
Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности (L) и конденсатора (C), будет колебаться с определенным периодом \( T \). Этот период можно рассчитать по формуле:
\[ T = 2\pi \sqrt{LC} \]
Когда ключ размыкается, в контуре возникают колебания, и амплитуда напряжения на конденсаторе \( U_C \) становится \( n \) раз больше ЭДС батареи \( E \). Это можно записать как:
\[ U_C = nE \]
Напряжение на конденсаторе во время максимального заряда связано с энергией, сохраненной в конденсаторе, и энергию можно выразить как:
\[ U_C = \frac{Q^2}{2C} \]
где \( Q \) — заряд конденсатора в момент максимального напряжения.
Также, энергия, сохраненная в катушке, задается формулой:
\[ U_L = \frac{LI^2}{2} \]
Здесь \( I \) — ток, протекающий через катушку в момент максимального значения, связанный с зарядом на конденсаторе и, соответственно, определяется как \( I = \frac{dQ}{dt} \).
Поскольку амплитуда напряжения на конденсаторе \( U_C \) в \( n \) раз больше ЭДС \( E \), мы можем использовать это соотношение для связи параметров контура:
\[ nE = \frac{Q^2}{2C} \]
Теперь, если мы знаем, что в стационарном режиме катушка и конденсатор полностью заряжены, то заряд конденсатора можно выразить через ЭДС:
\[ Q = C \cdot E \]
Теперь подставим это значение в первую уравнение:
\[ nE = \frac{(CE)^2}{2C} \]
Сокращаем подходящие элементы:
\[ nE = \frac{CE^2}{2} \]
Теперь, выразим емкость \( C \):
\[ C = \frac{2nE}{E^2} = \frac{2n}{E} \]
Теперь, используя период \( T \):
- Подставляем значение \( C \) в уравнение для периода:
\[ T = 2\pi \sqrt{L \left(\frac{2n}{E}\right)} \]
- Теперь, выразим \( L \):
\[ L = \frac{T^2 E}{4\pi^2 \cdot 2n} \]
Итак, для окончательного результата у нас получаются две формулы, которые позволяют рассчитать индуктивность катушки и емкость конденсатора в зависимости от заданных величин:
\[ C = \frac{2n}{E} \] \[ L = \frac{T^2 E}{8\pi^2 n} \]
Эти уравнения помогут вам в дальнейшем решить задачу. Если у вас есть конкретные численные данные для \( E \), \( T \) и \( n \), можно подставить их и получить численные значения для \( L \) и \( C \).
