Сколько существует прямоугольников с целыми сторонами, площадь которых равна 36? Какие это прямоугольники?

Чтобы найти количество прямоугольников с целыми сторонами, площадь которых равна 36, нужно определить все пары целых положительных чисел \( (a, b) \), таких что \( a \times b = 36 \), где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника.

Чтобы это сделать, определим все делители числа 36. Число 36 имеет следующие делители:

1. \( 1 \times 36 \)
2. \( 2 \times 18 \)
3. \( 3 \times 12 \)
4. \( 4 \times 9 \)
5. \( 6 \times 6 \)

Теперь запишем их в виде пар:

1. \( (1, 36) \)
2. \( (2, 18) \)
3. \( (3, 12) \)
4. \( (4, 9) \)
5. \( (6, 6) \)

Так как прямоугольник с размерами \( a \) и \( b \) идентичен прямоугольнику с размерами \( b \) и \( a \), нужно учесть пары только в одном порядке.

Таким образом, все уникальные прямоугольники с целыми сторонами и площадью 36:

1. Прямоугольник со сторонами 1 и 36.
2. Прямоугольник со сторонами 2 и 18.
3. Прямоугольник со сторонами 3 и 12.
4. Прямоугольник со сторонами 4 и 9.
5. Прямоугольник со сторонами 6 и 6.

Итак, всего существует 5 прямоугольников с целыми сторонами, площадь которых равна 36.