Инфинитив в русском языке выполняет разные синтаксические функции, в зависимости от контекста. Давайте посмотрим на предложенные варианты:
Она начала петь. - Здесь "петь" является дополнением (прямым), так как отвечает на вопрос "что?".
Друг попросил меня открыть окно. - В данном случае "открыть" также является дополнением, отвечающим на вопрос "что?".
У меня было желание поздороваться с ней. - Здесь "поздороваться" выступает в роли дополнения, отвечающего на вопрос "что?".
Мы вышли на улицу прогуляться. - "Прогуляться" выполняет роль обстоятельства цели и отвечает на вопрос "зачем?".
Жизнь прожить — не поле перейти. - В этом предложении "прожить" и "перейти" являются частями составного именного сказуемого.
Не потеряться бы. - Здесь "потеряться" тоже выступает в роли обстоятельства, выражая желание или условие.
Таким образом, в зависимости от контекста, инфинитив может быть различными членами предложения. Если вам нужно детальное объяснение по каждому из них, буду рад помочь!