Определить симметрична ли функция и честность/нечетность: (x⁷-1)³

Чтобы определить, является ли функция симметричной, и выяснить, четная она или нечетная, рассмотрим функцию \( f(x) = (x^7 - 1)^3 \).

1. Проверка четности и нечетности:
   • Функция считается четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \).
   • Функция считается нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \).

Давайте найдем \( f(-x) \):

\[ f(-x) = ((-x)^7 - 1)^3 = (-x^7 - 1)^3 \]

Теперь упрощаем:

\[ f(-x) = (-(x^7 + 1))^3 = -((x^7 + 1)^3) \]

Поскольку \( f(-x) \) не равно \( f(x) \) и не равно \( -f(x) \), функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Симметрия функции:
   • Функция симметрична относительно оси X, если для любого \( x \) выполняется \( f(x) = -f(x) \) (что возможно только в точке пересечения с осью X);
   • Симметрична относительно оси Y, если выполняется \( f(-x) = f(x) \).

Поскольку мы установили, что \( f(-x) \) не равно \( f(x) \), функция не симметрична относительно оси Y.

Таким образом, функция \( f(x) = (x^7 - 1)^3 \) не является ни четной, ни нечетной, и не имеет симметрии относительно осей.