5х^2 -11х +2>=0

Чтобы решить неравенство \( 5x^2 - 11x + 2 \geq 0 \), сначала найдем корни соответствующего уравнения \( 5x^2 - 11x + 2 = 0 \) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \( D \) определяется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Здесь \( a = 5 \), \( b = -11 \), \( c = 2 \). Подставляем значения:

\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 \]

Теперь мы видим, что дискриминант положительный. Это означает, что уравнение имеет два различных корня. Найдем их с помощью формулы корней:

\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим найденные значения:

\[ x_1 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]

Корни уравнения \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = \frac{1}{5} \). Теперь находим интервалы, в которых выражение \( 5x^2 - 11x + 2 \) будет больше или равно нулю.

1. \( (-\infty, \frac{1}{5}) \)
2. \( \left( \frac{1}{5}, 2 \right) \)
3. \( (2, +\infty) \)

Теперь протестируем знаки на каждом интервале.

1. Для \( x < \frac{1}{5} \) (например, \( x = 0 \)): \[ 5(0)^2 - 11(0) + 2 = 2 > 0 \]

2. Для \( \frac{1}{5} < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \[ 5(1)^2 - 11(1) + 2 = 5 - 11 + 2 = -4 < 0 \]

3. Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ 5(3)^2 - 11(3) + 2 = 45 - 33 + 2 = 14 > 0 \]

Таким образом, решение неравенства \( 5x^2 - 11x + 2 \geq 0 \) будет:

\[ x \in \left( -\infty, \frac{1}{5} \right] \cup [2, +\infty) \]

Таким образом, \( x \) может принимать значения из интервала \( (-\infty, \frac{1}{5}] \) и \( [2, +\infty) \).