Х+3/3х-1<=1

Чтобы решить неравенство \(\frac{x+3}{3x-1} \leq 1\), начнем с преобразования его в более удобный вид.

1. Переносим 1 на левую сторону: \[ \frac{x+3}{3x-1} - 1 \leq 0 \] Для этого найдем общий знаменатель: \[ \frac{x+3 - (3x-1)}{3x-1} \leq 0 \] Упрощаем числитель: \[ \frac{x+3 - 3x + 1}{3x-1} \leq 0 \] Это дает нам: \[ \frac{-2x + 4}{3x-1} \leq 0 \]

2. Упрощаем дробь: \[ \frac{2(2-x)}{3x-1} \leq 0 \]

3. Теперь решим неравенство: Неравенство \(\frac{2(2-x)}{3x-1} \leq 0\) будет выполняться, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.

   • Числитель равен нулю, когда \(2 - x = 0\) или \(x = 2\).
   • Знаменатель равен нулю, когда \(3x - 1 = 0\) или \(x = \frac{1}{3}\).

4. Теперь определим знаки дроби на интервалах, разбиенных найденными точками: \( (-\infty, \frac{1}{3}) \), \( \left( \frac{1}{3}, 2 \right) \), \( (2, +\infty) \). Проверим знаки на каждом интервале.

   • Для \(x < \frac{1}{3}\) (например, \(x = 0\)): \[ \frac{2(2-0)}{3(0)-1} = \frac{4}{-1} < 0 \]
   • Для \(\frac{1}{3} < x < 2\) (например, \(x = 1\)): \[ \frac{2(2-1)}{3(1)-1} = \frac{2}{2} > 0 \]
   • Для \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): \[ \frac{2(2-3)}{3(3)-1} = \frac{-2}{8} < 0 \]

5. Подводим итоги: Мы видим, что неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, \frac{1}{3}) \) и \( (2, +\infty) \).

6. Теперь уточним, что в точке \(x = \frac{1}{3}\) изначально дробь не определена. В точке \(x = 2\) значение дроби равно нулю, и оно включается в неравенство с равенством.

Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cup [2, +\infty) \]