3.12. Решите систему уравнений: 1) x ^ 2 - 2y ^ 2 = 7 ,\\ x-y-2=0 2) x ^ 2 - 2y ^ 2 = 1 ,\\ x-y=1; 3) x^ 2 -y^ 2 =-8\\ xy = 3 ; y + 4x = 6; 4) x ^ 2 + xy - y ^ 2 = - 1 ,\\ xy=2.

Давайте решим каждую систему уравнений по очереди.

1) Система:

\[ x^2 - 2y^2 = 7, \] \[ x - y - 2 = 0 \] или \( x = y + 2 \).

Подстановка:

Подставим \( x \) из второго уравнения в первое: \[ (y + 2)^2 - 2y^2 = 7. \] Раскроем скобки: \[ y^2 + 4y + 4 - 2y^2 = 7. \] Соберем все в одну сторону: \[ -y^2 + 4y - 3 = 0. \] Умножим на -1: \[ y^2 - 4y + 3 = 0. \] Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант: Дискриминант \( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).

Корни: \[ y = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow y_1 = 3, \quad y_2 = 1. \]

Теперь найдем \( x \):

• Для \( y_1 = 3 \): \[ x = 3 + 2 = 5. \]
• Для \( y_2 = 1 \): \[ x = 1 + 2 = 3. \]

Таким образом, решения: \[ (5, 3) \text{ и } (3, 1). \]

2) Система:

\[ x^2 - 2y^2 = 1, \] \[ x - y = 1 \] или \( x = y + 1 \).

Подстановка:

Подставим \( x \): \[ (y + 1)^2 - 2y^2 = 1. \] Раскроем скобки: \[ y^2 + 2y + 1 - 2y^2 = 1. \] Соберем: \[ -y^2 + 2y = 0. \] Факторизуем: \[ y(-y + 2) = 0. \] Таким образом, \( y = 0 \) или \( y = 2 \).

Найдем \( x \):

• Для \( y = 0 \): \[ x = 0 + 1 = 1. \]
• Для \( y = 2 \): \[ x = 2 + 1 = 3. \]

Решения: \[ (1, 0) \text{ и } (3, 2). \]

3) Система:

\[ x^2 - y^2 = -8, \] \[ xy = 3. \]

Решение:

Запишем первое уравнение как: \[ x^2 = y^2 - 8. \] Подставим \( x = \frac{3}{y} \) из второго уравнения: \[ \left(\frac{3}{y}\right)^2 - y^2 = -8. \] Умножим на \( y^2 \) (предполагая \( y \neq 0 \)): \[ 9 - y^4 = -8y^2. \] Преобразуем: \[ y^4 - 8y^2 - 9 = 0. \] Пусть \( z = y^2 \): \[ z^2 - 8z - 9 = 0. \] Дискриминант: \[ D = 64 + 36 = 100. \] Корни: \[ z = \frac{8 \pm 10}{2} \Rightarrow z_1 = 9, \quad z_2 = -1. \] Таким образом, \( y^2 = 9 \) (только положительное значение): \[ y = 3 \text{ или } y = -3. \] Теперь найдём \( x \):

• Для \( y = 3 \): \[ x = \frac{3}{3} = 1. \]
• Для \( y = -3 \): \[ x = \frac{3}{-3} = -1. \]

Решения: \[ (1, 3) \text{ и } (-1, -3). \]

4) Система:

\[ x^2 + xy - y^2 = -1, \] \[ xy = 2. \]

Подстановка:

Подставим \( y = \frac{2}{x} \): \[ x^2 + x\left(\frac{2}{x}\right) - \left(\frac{2}{x}\right)^2 = -1. \] Это упростится до: \[ x^2 + 2 - \frac{4}{x^2} = -1. \] Умножим на \( x^2 \): \[ x^4 + 2x^2 + 4 = -x^2. \] Собираем: \[ x^4 + 3x^2 + 4 = 0. \] Пусть \( z = x^2 \): \[ z^2 + 3z + 4 = 0. \] Дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7. \] Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней.

Резюме: для четвертой системы действительных решений нет.

Если вам нужно больше объяснений или подробностей по каждой системе, дайте знать, и я с радостью помогу!