Материальная точка массой 0,01кг совершает колебания по закону x=0,2cos(2πt/3) м. Найти возвращающую силу через 1 с после начала движения и полную энергию материальной точки.

Чтобы найти возвращающую силу и полную энергию материальной точки, движущейся по закону колебаний \( x = 0,2 \cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right) \) м, мы можем воспользоваться основными формулами механики.

1. Вычисление возвращающей силы.

Сначала найдем ускорение колеблющейся точки. Для этого найдем вторую производную функции положения \( x(t) \) по времени.

Положение \( x(t) = 0,2 \cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right) \).

Первая производная (скорость): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(0,2 \cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right)\right) = -\frac{2\pi}{3} \cdot 0,2 \sin\left(\frac{2\pi t}{3}\right). \]

Вторая производная (ускорение): \[ a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{2\pi}{3} \cdot 0,2 \cdot \frac{2\pi}{3} \cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right) = -\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2 \cdot 0,2 \cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right). \]

При \( t = 1 \) с, подставим значение \( t \) в уравнение \( x(t) \): \[ x(1) = 0,2 \cos\left(\frac{2\pi \cdot 1}{3}\right) = 0,2 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 0,2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -0,1 \, \text{м}. \]

Теперь найдем ускорение: \[ a(1) = -\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2 \cdot 0,2 \cos\left(\frac{2\pi \cdot 1}{3}\right) = -\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2 \cdot 0,2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2 \cdot 0,2}{2}. \]

Теперь подставим в формулу для возвращающей силы \( F = m \cdot a \): \[ F = 0,01 \cdot a(1) = 0,01 \cdot \frac{\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2 \cdot 0,2}{2} = 0,005 \cdot \left(\frac{4\pi^2}{9}\right) \approx 0,005 \cdot 1,396 \approx 0,00698 \, \text{Н}. \]

Таким образом, возвращающая сила через 1 с после начала движения приблизительно равна \( 0,007 \, \text{Н} \).

2. Полная энергия материальной точки.

Полная энергия \( E \) механического осциллятора задается формулой: \[ E = \frac{1}{2}kA^2, \] где \( A \) - амплитуда колебаний, \( k \) - жесткость пружины, которая для простого гармонического движения определяется как \( k = m\omega^2 \), где \( \omega \) - угловая частота.

Угловая частота: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = \frac{4\pi}{3} \, \text{рад/с}. \]

Жесткость: \[ k = m\omega^2 = 0,01 \cdot \left(\frac{4\pi}{3}\right)^2 \approx 0,01 \cdot \frac{16\pi^2}{9} \approx 0,01 \cdot 5,585 = 0,05585 \, \text{Н/м}. \]

Теперь подставляем значение в формулу энергии: \[ E = \frac{1}{2} \cdot 0,05585 \cdot (0,2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,05585 \cdot 0,04 \approx 0,001117 \, \text{Дж} \approx 1,12 \, \text{мДж}. \]

Таким образом, полная энергия материальной точки составляет приблизительно \( 1,12 \, \text{мДж} \).