Вычислите объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями: y = 2x + 5 ,x = 0 y = 1 y = 3
Давайте вычислим объем тела, образованного при вращении вокруг оси Y фигуры, ограниченной линиями \(y = 2x + 5\), \(x = 0\), \(y = 1\) и \(y = 3\).
Определим границы интегрирования: Мы сначала найдем точки пересечения линии \(y = 2x + 5\) с горизонтальными линиями \(y = 1\) и \(y = 3\).
Для \(y = 1\): \[ 1 = 2x + 5 \implies 2x = 1 - 5 \implies 2x = -4 \implies x = -2. \] Это значение \(x = -2\) не является актуальным, поскольку \(x\) должно быть неотрицательным (ограничение \(x = 0\)).
Для \(y = 3\): \[ 3 = 2x + 5 \implies 2x = 3 - 5 \implies 2x = -2 \implies x = -1. \] Также это значение не подходит, но мы учтем, что вопрос сводится к нахождению объема на заданных границах по оси Y.
Теперь найдём объем: Используем метод дисков. Формула для объема тела вращения вокруг оси Y: \[ V = \pi \int_{y_1}^{y_2} [f(y)]^2 \, dy, \] где \(f(y)\) - это функция, выраженная через \(y\). Чтобы выразить \(x\) через \(y\), преобразуем уравнение: \[ y = 2x + 5 \implies x = \frac{y - 5}{2}. \]
Мы будем интегрировать от \(y = 1\) до \(y = 3\): \[ V = \pi \int_{1}^{3} \left( \frac{y - 5}{2} \right)^2 \, dy. \]
Посчитаем интеграл: \[ V = \pi \int_{1}^{3} \frac{(y - 5)^2}{4} \, dy = \frac{\pi}{4} \int_{1}^{3} (y - 5)^2 \, dy. \]
Раскроем скобки: \[ (y - 5)^2 = y^2 - 10y + 25. \] Теперь интегрируем: \[ \int (y^2 - 10y + 25) \, dy = \frac{y^3}{3} - 5y^2 + 25y. \]
Подставим пределы: \[ V = \frac{\pi}{4} \left[\left( \frac{3^3}{3} - 5 \cdot 3^2 + 25 \cdot 3\right) - \left( \frac{1^3}{3} - 5 \cdot 1^2 + 25 \cdot 1\right)\right]. \]
Вычислим \(V\): \[ = \frac{\pi}{4} \left[\left( 9 - 45 + 75\right) - \left( \frac{1}{3} - 5 + 25\right)\right] = \frac{\pi}{4} \left[39 - \left(\frac{1}{3} + 20\right)\right] = \frac{\pi}{4} \left[39 - \frac{61}{3}\right]. \]
Выразим разность: \[ 39 = \frac{117}{3} \Rightarrow 39 - \frac{61}{3} = \frac{117 - 61}{3} = \frac{56}{3}. \]
Таким образом, объем: \[ V = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{56}{3} = \frac{14\pi}{3}. \]
Итак, объем тела, образованного вращением искомой области вокруг оси Y, составляет \(\frac{14\pi}{3}\) кубических единиц.
