X⁴-13x²-48=0

Для решения уравнения \(x^4 - 13x^2 - 48 = 0\), давайте сначала сделаем замену переменной. Пусть \(y = x^2\). Тогда уравнение можно переписать как:

\[y^2 - 13y - 48 = 0.\]

Теперь это квадратное уравнение, и мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \(a = 1\), \(b = -13\), и \(c = -48\). Подставляем значения:

\[ y = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} = \frac{13 \pm \sqrt{169 + 192}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{361}}{2}. \]

Поскольку \(\sqrt{361} = 19\), у нас получается:

\[ y = \frac{13 \pm 19}{2}. \]

Теперь решим для двух случаев:

1. \(y_1 = \frac{13 + 19}{2} = \frac{32}{2} = 16\)
2. \(y_2 = \frac{13 - 19}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

Мы получили два значения для \(y\): \(y_1 = 16\) и \(y_2 = -3\).

Теперь вернемся к переменной \(x\):

1. Для \(y_1 = 16\): \[ x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4. \]

2. Для \(y_2 = -3\): \[ x^2 = -3. \] Поскольку в действительных числах нет квадратного корня из отрицательного числа, \(x = \pm i\sqrt{3}\) (где \(i\) — мнимая единица).

Таким образом, окончательные решения уравнения \(x^4 - 13x^2 - 48 = 0\) будут:

\[ x = 4, \quad x = -4, \quad x = i\sqrt{3}, \quad x = -i\sqrt{3}. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!