X^4+2x^2-8=0 реши через теорему бизу

Чтобы решить уравнение \(x^4 + 2x^2 - 8 = 0\) с помощью теоремы Бенета (также известной как теорема Виета), сначала приведем его к более удобной форме.

Давайте сделаем замену переменной. Пусть \(y = x^2\). Тогда уравнение примет вид:

\[y^2 + 2y - 8 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}, \]

где \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -8\).

Подставляем значения:

\[ y = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-2 \pm \sqrt{{4 + 32}}}}{2} = \frac{{-2 \pm \sqrt{36}}}{2} = \frac{{-2 \pm 6}}{2}. \]

Таким образом, находим два возможных значения для \(y\):

1. \(y_1 = \frac{{-2 + 6}}{2} = \frac{4}{2} = 2\),
2. \(y_2 = \frac{{-2 - 6}}{2} = \frac{-8}{2} = -4\).

Теперь возвращаемся к переменной \(x\). Для \(y_1 = 2\):

\[ x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}. \]

Для \(y_2 = -4\) получаем:

\[ x^2 = -4. \]

Здесь нет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Однако, если учитывать комплексные корни, то:

\[ x = \pm 2i. \]

Таким образом, полные решения уравнения \(x^4 + 2x^2 - 8 = 0\) будут:

\[ x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}, \quad x = 2i, \quad x = -2i. \]

Если есть дополнительные вопросы по этой теме, с удовольствием помогу!