Корень x2+6x+8-корень x+2=0

Чтобы решить уравнение \(\sqrt{x^2 + 6x + 8} - \sqrt{x + 2} = 0\), начнем с того, что перенесем один корень на правую сторону:

\[ \sqrt{x^2 + 6x + 8} = \sqrt{x + 2} \]

Теперь мы можем возвести обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

\[ x^2 + 6x + 8 = x + 2 \]

Теперь упорядочим уравнение, переместив все элементы в одну сторону:

\[ x^2 + 6x + 8 - x - 2 = 0 \]

Это упрощается до:

\[ x^2 + 5x + 6 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого найдем его корни с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = 6\):

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

Поскольку дискриминант положительный, у нас два различных корня. Найдем их по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 1}{2} \]

Теперь мы находим корни:

\[ x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = -2\) и \(x_2 = -3\).

Наконец, важно проверить, что найденные корни удовлетворяют исходному уравнению, так как мы возводили обе стороны в квадрат.

Для \(x = -2\):

\(\sqrt{(-2)^2 + 6 \cdot (-2) + 8} - \sqrt{-2 + 2} = \sqrt{0} - \sqrt{0} = 0\) (входит в решение)

Для \(x = -3\):

\(\sqrt{(-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 8} - \sqrt{-3 + 2} = \sqrt{2} - \sqrt{-1}\) (не входит в решение, так как возникает отрицательный корень)

В итоге, единственный корень, подходящий для данного уравнения — это \(x = -2\).