(х-2)⁴+3(х-2)²-10=0
Чтобы решить уравнение (x-2)⁴ + 3(x-2)² - 10 = 0, давайте сделаем его легче для понимания.
Сначала введем замену: пусть \( y = (x-2)² \). Таким образом, наше уравнение становится: \[ y² + 3y - 10 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) определяется как: \[ D = b² - 4ac \] В данном случае \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = -10 \): \[ D = 3² - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]
Так как дискриминант положителен, существуют два различных корня, которые находят по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 7}{2} \]
Вычисляем оба корня:
- Первый корень: \[ y_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
- Второй корень: \[ y_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Теперь возвращаемся к нашей замене \( y = (x-2)² \):
Для \( y_1 = 2 \): \[ (x-2)² = 2 \quad \Rightarrow \quad x-2 = \pm \sqrt{2} \] Таким образом, корни: \[ x_1 = 2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{2} \]
Для \( y_2 = -5 \): Если \( (x-2)² = -5 \), то это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.
Таким образом, окончательные решения нашего уравнения: \[ x = 2 + \sqrt{2} \quad \text{и} \quad x = 2 - \sqrt{2} \]
Если у вас остались вопросы или вы хотите разобраться с какой-то другой темой, не стесняйтесь спрашивать!
