Два автомобиля движутся из одного положения вдоль оси x. Зависимость проекции скорости от времени для первого автомобиля в единицах СИ выражается формулой = 5 + 2t. Проекция…

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим каждый пункт по очереди.

а) Какое расстояние проедет первый автомобиль за 10 с?

Скорость первого автомобиля \( v_1(t) \) выражается формулой:

\[ v_1(t) = 5 + 2t \]

Для нахождения расстояния, пройденного первым автомобилем за 10 секунд, нам нужно найти его перемещение. Мы можем вычислить перемещение, интегрируя скорость по времени:

\[ s_1 = \int_{0}^{10} (5 + 2t) \, dt \]

Вычислим интеграл:

\[ s_1 = \left[ 5t + t^2 \right]_{0}^{10} = (5 \cdot 10 + 10^2) - (5 \cdot 0 + 0^2) = 50 + 100 = 150 \, \text{м} \]

Таким образом, первый автомобиль проедет 150 метров за 10 секунд.

б) Чему равна проекция ускорения второго автомобиля, если через 10 с после начального момента скорость второго автомобиля в 2 раза больше скорости первого?

Сначала найдем скорость первого автомобиля через 10 секунд:

\[ v_1(10) = 5 + 2 \cdot 10 = 5 + 20 = 25 \, \text{м/с} \]

Согласно условию, скорость второго автомобиля \( v_2(10) \) в 2 раза больше, чем скорость первого:

\[ v_2(10) = 2 \cdot v_1(10) = 2 \cdot 25 = 50 \, \text{м/с} \]

Поскольку начальная скорость второго автомобиля равна 8 м/с, давайте обозначим его ускорение как \( a_2 \). Тогда скорость второго автомобиля будет выражаться как:

\[ v_2(t) = 8 + a_2 \cdot t \]

Находим \( a_2 \) используя информацию о скорости через 10 секунд:

\[ v_2(10) = 8 + a_2 \cdot 10 \] \[ 50 = 8 + a_2 \cdot 10 \] \[ 50 - 8 = a_2 \cdot 10 \] \[ 42 = a_2 \cdot 10 \] \[ a_2 = \frac{42}{10} = 4.2 \, \text{м/с}^2 \]

Таким образом, проекция ускорения второго автомобиля равна 4.2 м/с².

в) Чему будет равно расстояние между автомобилями через 10 с после начального момента?

Теперь мы знаем расстояние, пройденное первым автомобилем и можем найти расстояние, пройденное вторым автомобилем. Для этого используем найденное ускорение второго автомобиля в предыдущем пункте.

Расстояние, пройденное вторым автомобилем за 10 секунд:

\[ s_2 = \int_{0}^{10} (8 + 4.2t) \, dt \] \[ s_2 = \left[ 8t + 2.1t^2 \right]_{0}^{10} = (8 \cdot 10 + 2.1 \cdot 10^2) - (8 \cdot 0 + 2.1 \cdot 0^2) = 80 + 210 = 290 \, \text{м} \]

Теперь, чтобы найти расстояние между автомобилями, вычтем расстояние первого автомобиля из расстояния второго:

\[ \Delta s = s_2 - s_1 = 290 - 150 = 140 \, \text{м} \]

Таким образом, расстояние между автомобилями через 10 секунд после начального момента составляет 140 метров.