Исследовать функцию y=-2x^2-6x+15 на ограниченность

Чтобы исследовать функцию \( y = -2x^2 - 6x + 15 \) на ограниченность, нам нужно проанализировать её поведение при различных значениях \( x \).

1. Форма функции: Это квадратичная функция, которая имеет вид \( ax^2 + bx + c \) с \( a = -2 \), \( b = -6 \) и \( c = 15 \). Так как \( a < 0 \), график функции представляет собой ветвь параболы, направленную вниз.

2. Нахождение вершины параболы: Вершина параболы (максимум функции, так как парабола направлена вниз) находится по формуле: \[ x_{в} = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( b \) и \( a \): \[ x_{в} = -\frac{-6}{2 \cdot -2} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2} \]

3. Вычисление максимального значения: Подставим найденное значение \( x_{в} = -\frac{3}{2} \) в исходную функцию, чтобы найти \( y_{в} \): \[ y_{в} = -2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 6\left(-\frac{3}{2}\right) + 15 \] Сначала вычислим \( \left(-\frac{3}{2}\right)^2 \): \[ \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \] Теперь подставим это значение в уравнение: \[ y_{в} = -2 \cdot \frac{9}{4} + 6 \cdot \frac{3}{2} + 15 \] \[ y_{в} = -\frac{18}{4} + 9 + 15 \] \[ = -\frac{9}{2} + 9 + 15 = -\frac{9}{2} + \frac{18}{2} + \frac{30}{2} \] \[ = \frac{39}{2} \]

4. Ограниченность: Так как парабола направлена вниз и имеет максимум в точке \( x = -\frac{3}{2} \), функция ограничена сверху (максимальное значение \( y = \frac{39}{2} \)) и не ограничена снизу (при \( x \to \pm \infty \) значение \( y \to -\infty \)).

Таким образом, функция \( y = -2x^2 - 6x + 15 \) является ограниченной сверху с максимальным значением \( \frac{39}{2} \) и неограниченной снизу.