В прямоугольном паралепипеде ABCDAA1B1C1D1 AD=2, CD=√5, AA1=3, Найдите градусную меру угла ACA
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданные размеры рёбер: AD = 2, CD = √5 и AA1 = 3. Чтобы найти градусную меру угла ACA, нам нужно воспользоваться векторной арифметикой и понятиями о длине векторов и углах между ними.
Определим координаты точек:
Пусть:- A(0, 0, 0)
- B(2, 0, 0) (поскольку AD = 2, то B на 2 единицы по оси x от A)
- D(0, √5, 0) (поскольку CD = √5, то D на √5 единиц по оси y от A)
- C(2, √5, 0) (точка C будет на 2 единицы по оси x от D)
- A1(0, 0, 3) (точка A1 выше точки A на высоту AA1 = 3)
- C1(2, √5, 3) (точка C1 выше точки C на высоту AA1 = 3)
Составим векторы:
- Вектор AC: \[ AC = C - A = (2 - 0, √5 - 0, 0 - 0) = (2, √5, 0) \]
- Вектор AA1: \[ AA1 = A1 - A = (0 - 0, 0 - 0, 3 - 0) = (0, 0, 3) \]
Найдём длины векторов:
- Длина вектора AC: \[ |AC| = \sqrt{2^2 + (√5)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 \]
- Длина вектора AA1: \[ |AA1| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 \]
Найдём скалярное произведение векторов: \[ AC \cdot AA1 = (2)(0) + (√5)(0) + (0)(3) = 0 \]
Используем формулу для нахождения угла: Формула для нахождения угла между двумя векторами \( \theta \) следующая: \[ \cos(\theta) = \frac{AC \cdot AA1}{|AC| |AA1|} \] Подставляем найденные значения: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{3 \cdot 3} = 0 \]
Поскольку косинус угла равен нулю, значит угол равен 90 градусам.
Ответ: Градусная мера угла ACA равна 90°.
