упростить выражение и найти его значение: 1) cos2a + ctg2a + sin2a при a = п/6

Для упрощения выражения \( \cos^2 a + \cot^2 a + \sin^2 a \) при \( a = \frac{\pi}{6} \), начнем с того, что нам необходимо найти значения тригонометрических функций при данном угле.

1. Рассмотрим значения тригонометрических функций для \( a = \frac{\pi}{6} \):

   • \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   • \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \)
   • \( \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \)

2. Теперь подставим эти значения в выражение:

   • \( \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \)
   • \( \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)
   • \( \cot^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = (\sqrt{3})^2 = 3 \)

3. Подставим найденные значения в исходное выражение: \[ \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cot^2\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4} + 3 + \frac{1}{4} \]

4. Приведем дроби к общему знаменателю, чтобы сложить их:

   • \( \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
   • Теперь у нас: \( 1 + 3 = 4 \)

Таким образом, значение выражения \( \cos^2 a + \cot^2 a + \sin^2 a \) при \( a = \frac{\pi}{6} \) равно 4.