Маша отметила несколько точек на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. И соединила каждые две точки отрезком. Могло ли количество отрезков, которые нарисовала Маша, быть равно 15?
Да, количество отрезков, которые могла нарисовать Маша, действительно могло быть равно 15.
Когда Маша отметила точки на плоскости и соединила их отрезками, количество отрезков, соединяющих n точек, вычисляется по формуле:
\[ C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} \]
где \( C(n, 2) \) — это число сочетаний из n по 2, то есть количество способов выбрать 2 точки из n.
Теперь давайте найдем, какое значение n должно быть, чтобы количество отрезков было равно 15:
\[ \frac{n(n-1)}{2} = 15 \]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ n(n-1) = 30 \]
Теперь решим это уравнение. Перепишем его:
\[ n^2 - n - 30 = 0 \]
Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1, b = -1, c = -30 \):
- Вычислим дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \]
- Найдем корни:
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 11}{2} \]
Таким образом, допустимые значения:
\[ n_1 = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]
Поскольку количество точек не может быть отрицательным, остается только \( n = 6 \).
Следовательно, если Маша отметила 6 точек, она могла нарисовать 15 отрезков.
