Двое договорились о встрече между 7 и 8 часами утра, причем договорились ждать друг друга не более 40 минут. Считая, что момент прихода на встречу выбирается каждым "наудачу" в пределах договоренного временного интервала, найти вероятность P того, что встреча состоится.

Для решения данной задачи о вероятности встречи, определим временной интервал, в течение которого могут прийти оба человека.

Каждый из них приходит на встречу между 7:00 и 8:00, что составляет 60 минут. Если обозначить время прихода первого человека как \( X \), а время прихода второго человека как \( Y \), то \( X \) и \( Y \) — случайные величины, равномерно распределенные на интервале от 0 до 60 минут (где 0 соответствует 7:00, а 60 — 8:00).

Теперь, чтобы встреча состоялась, разница между временем их прихода не должна превышать 40 минут. Это значит, что:

\[ |X - Y| \leq 40 \]

Мы можем проиллюстрировать эту ситуацию графически в квадрате, где одна ось (ось X) представляет время прихода первого человека, а другая ось (ось Y) представляет время прихода второго человека. Квадрат имеет размер 60 минут на 60 минут (60x60).

Теперь рассмотрим область, удовлетворяющую условию \( |X - Y| \leq 40 \). Это условие можно разбить на две неравенства:

1. \( X - Y \leq 40 \) (или \( Y \geq X - 40 \))
2. \( Y - X \leq 40 \) (или \( Y \leq X + 40 \))

На графике эти неравенства определяют две линии:

• Первая линия: \( Y = X - 40 \) (выше этой линии, встреча не произойдет)
• Вторая линия: \( Y = X + 40 \) (ниже этой линии, встреча не произойдет)

Теперь мы можем определить площадь, где встречи проходят. Эти линии пересекают границы квадрата в следующих точках:

1. Первая линия пересекает границы квадрата в точках (40,0) и (60,20).
2. Вторая линия пересекает границы квадрата в точках (0,40) и (20,60).

Теперь вычислим площадь области, где встреча возможна. Площадь квадрата – это \( 60 \times 60 = 3600 \) квадратных минут.

Область, удовлетворяющая условиям, представляет собой два треугольника, находящиеся в верхнем и нижнем углах квадрата.

Площадь одного треугольника (например, в нижнем углу):

• Основание треугольника=20 (от Y=0 до Y=20 на оси Y)
• Высота треугольника=40 (от X=40 до X=60 на оси X)

Площадь одного треугольника:
\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 40 = 400 \]

Есть два таких треугольника:

Общая площадь, где встречи могут происходить:
\[ 3600 - 2 \cdot 400 = 3600 - 800 = 2800 \]

Теперь находим вероятность \( P \):

\[ P = \frac{\text{площадь, где встречи возможны}}{\text{площадь квадрата}} = \frac{2800}{3600} = \frac{28}{36} = \frac{7}{9} \]

Таким образом, вероятность того, что встреча состоится, равна \( \frac{7}{9} \).