Решите неравенство x² + 4x - 125

Давайте решим неравенство \(x^2 + 4x - 125 < 0\).

Для начала, найдем корни уравнения \(x^2 + 4x - 125 = 0\) с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac\]

Где \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -125\). Подставим данные значения: \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 16 + 500 = 516\]

Теперь найдем корни уравнения: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] Подставляем значения: \[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{516}}{2 \cdot 1}\]

Корень из 516 можно упростить: \[\sqrt{516} = \sqrt{4 \cdot 129} = 2\sqrt{129}\]

Теперь подставим его в формулу: \[x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{129}}{2} = -2 \pm \sqrt{129}\]

Таким образом, корни: \[x_1 = -2 - \sqrt{129}, \quad x_2 = -2 + \sqrt{129}\]

Теперь находим интервалы, на которых функция \(f(x) = x^2 + 4x - 125 < 0\).

Нам нужно проанализировать знаки функции на интервалах, которые определены корнями. Это интервалы:

1. \((-\infty, -2 - \sqrt{129})\)
2. \((-2 - \sqrt{129}, -2 + \sqrt{129})\)
3. \((-2 + \sqrt{129}, +\infty)\)

Чтобы понять, где функция отрицательна, проверьте любой тестовый пункт в каждом интервале. Например:

1. Возьмем \(x = -15\) для первого интервала: \(f(-15) = (-15)^2 + 4(-15) - 125 = 225 - 60 - 125 = 40\) (положительно).
2. Возьмем \(x = -2\) для второго интервала: \(f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 125 = 4 - 8 - 125 = -129\) (отрицательно).
3. Возьмем \(x = 0\) для третьего интервала: \(f(0) = 0^2 + 4(0) - 125 = -125\) (отрицательно).

Таким образом, функция отрицательна на интервалах: \((-2 - \sqrt{129}, -2 + \sqrt{129})\)

Ответ: \[(-2 - \sqrt{129}, -2 + \sqrt{129})\]