5. В треугольнике АВС AB = 8sqrt(2) см, AC = 3 см, angle A = 135 deg Какова длина стороны ВС?

Для решения задачи воспользуемся косинусом угла в треугольнике. По теореме косинусов длина стороны \( BC \) можно найти с помощью формулы:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Где:

• \( c \) — длина искомой стороны \( BC \),
• \( a \) и \( b \) — длины сторон \( AB \) и \( AC \) соответственно,
• \( C \) — угол между сторонами \( AB \) и \( AC \) (в нашем случае это угол \( A \)).

Подставим известные значения:

• \( a = AB = 8\sqrt{2} \) см,
• \( b = AC = 3 \) см,
• \( C = 135^\circ \).

Сначала найдем \( \cos(135^\circ) \):

\[ \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Теперь подставим в формулу:

\[ BC^2 = (8\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot (8\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \]

Теперь рассчитываем каждую из частей:

1. \( (8\sqrt{2})^2 = 128 \)
2. \( 3^2 = 9 \)
3. \( -2 \cdot (8\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2 \cdot 8 \cdot 3 = 48 \)

Теперь подставим в уравнение:

\[ BC^2 = 128 + 9 + 48 = 185 \]

Следовательно, теперь найдем \( BC \):

\[ BC = \sqrt{185} \approx 13.6 \text{ см} \]

Таким образом, длина стороны \( BC \) составляет примерно 13.6 см.