В треугольнике АВС АВ-7-√2 см, АС=4 см, ДА = 135°. Какова длина стороны ВС?

Для нахождения длины стороны \( BC \) в треугольнике \( ABC \), где известны стороны \( AB \) и \( AC \), а также угол \( \angle A \), можно воспользоваться теоремой косинусов. Данная теорема описывает связь между длинами сторон треугольника и углом между ними.

В нашем случае:

• \( c = AB = 7 - \sqrt{2} \) см
• \( a = AC = 4 \) см
• угол \( A = 135° \)

По теореме косинусов, длина третьей стороны \( BC \) (обозначим её как \( b \)) будет вычисляться по формуле:

\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(A) \]

Подставим известные значения:

1. \[ a^2 = 4^2 = 16 \]
2. \[ c^2 = (7 - \sqrt{2})^2 = (7 - \sqrt{2})(7 - \sqrt{2}) = 49 - 14\sqrt{2} + 2 = 51 - 14\sqrt{2} \]
3. \[ \cos(135°) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{(так как угол 135° находится во второй четверти)} \]

Теперь подставим данные в формулу:

\[ b^2 = 16 + (51 - 14\sqrt{2}) - 2 \cdot 4 \cdot (7 - \sqrt{2}) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \]

Упростим:

4. \[ -2 \cdot 4 \cdot (7 - \sqrt{2}) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{8(7 - \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = \frac{56 - 8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 28\sqrt{2} - 8 \]

Теперь подставим это в уравнение для \( b^2 \):

\[ b^2 = 16 + 51 - 14\sqrt{2} + 28\sqrt{2} - 8 \] \[ b^2 = 59 + 14\sqrt{2} \]

Таким образом, длина стороны \( BC \):

\[ b = \sqrt{59 + 14\sqrt{2}} \]

Теперь вы можете подсчитать это значение, если вам требуется десятичное приближение.