√3-3 _____ √5-√15

Чтобы упростить выражение \(\frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}\), начнем с упрощения каждой части.

1. Упрощение числителя:

   • Поскольку \(\sqrt{3} - 3\) остается в таком виде, мы просто запомним его.

2. Упрощение знаменателя:

   • Мы можем упростить \(\sqrt{5} - \sqrt{15}\). Попробуем выразить \(\sqrt{15}\): \[ \sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}. \]
   • Таким образом, замечаем, что \(\sqrt{15}\) может быть записан как \(\sqrt{5}\sqrt{3}\).

Теперь подставим это назад в знаменатель: \[ \sqrt{5} - \sqrt{15} = \sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{5} = \sqrt{5}(1 - \sqrt{3}). \]

Теперь выражение выглядит следующим образом: \[ \frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{5}(1 - \sqrt{3})}. \]

3. Умножение на сопряженное выражение:

   • Чтобы упростить дробь, можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, которое будет выглядеть как \(1 + \sqrt{3}\): \[ \frac{(\sqrt{3} - 3)(1 + \sqrt{3})}{\sqrt{5}(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}. \]

4. Упрощение:

   • Числитель: \[ (\sqrt{3} - 3)(1 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3} - 3. \]
   • Знаменатель: \[ (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2. \]
   • Таким образом, новый знаменатель станет \(-2\sqrt{5}\).

Объединив все вместе, получится: \[ \frac{\sqrt{3} - 3}{-2\sqrt{5}}. \]

Теперь окончательно упростим: \[ \frac{3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{5}}. \]

Это заключительное упрощенное выражение. Надеюсь, это поможет вам разобраться с задачей! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!