Найдите наибольшее значение функции y=√-21-22x-x²

Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = \sqrt{-21 - 22x - x^2} \), сначала определим область определения этой функции. Поскольку под корнем должно быть неотрицательное значение, необходимо решить неравенство:

\[ -21 - 22x - x^2 \geq 0 \]

Для упрощения запишем это неравенство в стандартной форме:

\[ -x^2 - 22x - 21 \geq 0 \]

Умножим неравенство на \(-1\) и поменяем знак:

\[ x^2 + 22x + 21 \leq 0 \]

Теперь решим это квадратное неравенство, сначала найдя корни соответствующего уравнения:

\[ x^2 + 22x + 21 = 0 \]

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 484 - 84 = 400 \]

Корни уравнения можно найти по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 \pm 20}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-2}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-42}{2} = -21 \]

Теперь у нас есть корни \(-1\) и \(-21\). Рассмотрим промежутки:

• \( (-\infty, -21) \)
• \( [-21, -1] \)
• \( (-1, +\infty) \)

Проверим знак функции в этих промежутках:

1. Для \( x < -21 \), например, \( x = -22 \): \[ -22^2 - 22(-22) - 21 = 484 + 484 - 21 > 0 \]

2. Для \( -21 < x < -1 \), например, \( x = -10 \): \[ -10^2 - 22(-10) - 21 = 100 + 220 - 21 > 0 \]

3. Для \( x > -1 \), например, \( x = 0 \): \[ -0^2 - 22(0) - 21 < 0 \]

Это означает, что неравенство выполняется в промежутке \( [-21, -1] \).

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции, подставим граничные значения из области определения:

1. При \( x = -21 \): \[ y = \sqrt{-21 - 22(-21) - (-21)^2} = \sqrt{-21 + 462 - 441} = \sqrt{0} = 0 \]

2. При \( x = -1 \): \[ y = \sqrt{-21 - 22(-1) - (-1)^2} = \sqrt{-21 + 22 - 1} = \sqrt{0} = 0 \]

Таким образом, функция принимает значение 0 на обоих концах интервала, и наибольшее значение функции \( y \) равно \( 0 \), которое достигается при \( x = -21 \) и \( x = -1 \).

Наибольшее значение функции \( y = \sqrt{-21 - 22x - x^2} \) равно 0.