(x - 1)² + 7x (x - 1) ≤ 0.

Чтобы решить неравенство \((x - 1)² + 7x (x - 1) ≤ 0\), начнем с его упрощения.

1. Раскроем скобки: \[ (x - 1)² = x² - 2x + 1, \] \[ 7x(x - 1) = 7x² - 7x. \]

2. Теперь подставим эти выражения в неравенство: \[ x² - 2x + 1 + 7x² - 7x ≤ 0. \]

3. Соберем подобные члены: \[ (x² + 7x²) + (-2x - 7x) + 1 ≤ 0, \] \[ 8x² - 9x + 1 ≤ 0. \]

4. Найдём корни уравнения \(8x² - 9x + 1 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b² - 4ac = (-9)² - 4(8)(1) = 81 - 32 = 49. \]

5. Корни уравнения можно найти по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 7}{16}. \]

   Посчитаем корни: \[ x_1 = \frac{9 + 7}{16} = 1, \quad x_2 = \frac{9 - 7}{16} = \frac{1}{8}. \]

6. Теперь определим интервалы, в которых неравенство выполняется. Промежутки, которые нам нужно проверить, это: \((-\infty, \frac{1}{8})\), \((\frac{1}{8}, 1)\), \((1, +\infty)\).

7. Можно использовать тестовые точки из каждого интервала для проверки знака выражения \(8x² - 9x + 1\).

   • Для интервала \((-\infty, \frac{1}{8})\), возьмем, например, \(x = 0\): \[ 8(0)² - 9(0) + 1 = 1 > 0 \quad \text{(неравенство не выполняется)}. \]

   • Для интервала \((\frac{1}{8}, 1)\), возьмем, например, \(x = 0.5\): \[ 8(0.5)² - 9(0.5) + 1 = 2 - 4.5 + 1 = -1 < 0 \quad \text{(неравенство выполняется)}. \]

   • Для интервала \((1, +\infty)\), возьмем, например, \(x = 2\): \[ 8(2)² - 9(2) + 1 = 32 - 18 + 1 = 15 > 0 \quad \text{(неравенство не выполняется)}. \]

8. С учетом найденных корней и проверенных интервалов, итогом будет: \[ \frac{1}{8} \leq x \leq 1. \]

Таким образом, решение неравенства \((x - 1)² + 7x (x - 1) ≤ 0\) будет в интервале \([\frac{1}{8}, 1]\).