(x - 1)² + 7x (x - 1) ≤ 0. реши неравенство

Для решения неравенства \((x - 1)² + 7x (x - 1) ≤ 0\), сначала упростим его.

1. Раскроем скобки: \((x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\), \(7x(x - 1) = 7x^2 - 7x\).

2. Теперь объединим все это в одно выражение: \[ x^2 - 2x + 1 + 7x^2 - 7x ≤ 0. \]

3. Объединим подобные члены: \[ (1 + 7)x^2 + (-2 - 7)x + 1 ≤ 0, \] что упрощается до: \[ 8x^2 - 9x + 1 ≤ 0. \]

4. Теперь можно решить полученное квадратное неравенство. Для этого найдем корни равенства \(8x^2 - 9x + 1 = 0\) с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 81 - 32 = 49. \]

5. Теперь найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 7}{16}. \] Это дает нам два корня: \[ x_1 = \frac{16}{16} = 1, \quad x_2 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}. \]

6. Теперь мы можем записать корни и проанализировать знаки полинома. Неравенство \(8x^2 - 9x + 1 ≤ 0\) имеет корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{1}{8}\).

7. Рассмотрим интервал:

   • \( x < \frac{1}{8} \): знак положительный (проверяем на \(x = 0\)).
   • \(\frac{1}{8} < x < 1\): знак отрицательный (проверяем на \(x = 0.5\)).
   • \(x = 1\): равно нулю (корень).
   • \(x > 1\): знак положительный (проверяем на \(x = 2\)).

8. Таким образом, неравенство \(8x^2 - 9x + 1 ≤ 0\) выполняется на интервале: \[ \frac{1}{8} ≤ x ≤ 1. \]

Ответ: \(\frac{1}{8} ≤ x ≤ 1\).