(x - 1)² + 7x (x - 1) ≤ 0. реши неравенство кратко

Чтобы решить неравенство \( (x - 1)^2 + 7x(x - 1) \leq 0 \), сначала упростим его.

1. Раскроем скобки: \[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \] \[ 7x(x - 1) = 7x^2 - 7x \]

2. Тогда неравенство можно записать как: \[ x^2 - 2x + 1 + 7x^2 - 7x \leq 0 \]

3. Сложим все члены: \[ (1 + 7)x^2 + (-2 - 7)x + 1 \leq 0 \] \[ 8x^2 - 9x + 1 \leq 0 \]

4. Найдем корни квадратного уравнения \( 8x^2 - 9x + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 81 - 32 = 49 \] Теперь найдём корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 7}{16} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 7}{16} = \frac{1}{8} \]

5. Теперь мы имеем корни \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = \frac{1}{8} \). Квадратный трёхчлен \( 8x^2 - 9x + 1 \) имеет параболу, направленную вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положителен.

6. Наша задача найти промежутки, где неравенство меньше или равно нулю: Мы смотрим на критические точки \( x = \frac{1}{8} \) и \( x = 1 \).

7. Промежутки:

   • Для \( x < \frac{1}{8} \): Подставим, например, \( x = 0 \): \( 8(0)^2 - 9(0) + 1 = 1 > 0 \).
   • Для \( \frac{1}{8} < x < 1 \): Подставим \( x = 0.5 \): \( 8(0.5)^2 - 9(0.5) + 1 = 2 - 4.5 + 1 = -1 < 0 \).
   • Для \( x > 1 \): Подставим \( x = 2 \): \( 8(2)^2 - 9(2) + 1 = 32 - 18 + 1 = 15 > 0 \).

8. Таким образом, неравенство выполняется на интервале \( \left[\frac{1}{8}, 1\right] \).

Ответ: \( \left[\frac{1}{8}, 1\right] \).