докажите, что при всех допустимых значениях x значение выражения не зависит от x: a) 3x+5/2x-1 + 7x+3/1-2x b) 5x+1/5x-20 + x+17/20-5x

Для того чтобы доказать, что значение данных выражений не зависит от x, нам нужно упростить каждое выражение и проверить, приводит ли упрощение к постоянному значению.

a) \(\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x}\)

Давайте сначала заметим, что \(1 - 2x = -(2x - 1)\). Это позволит нам переписать вторую дробь:

\[ \frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} = \frac{3x+5}{2x-1} - \frac{7x+3}{2x-1} = \frac{(3x+5) - (7x+3)}{2x-1} \]

Теперь упростим числитель:

\[ (3x + 5) - (7x + 3) = 3x + 5 - 7x - 3 = -4x + 2 \]

Теперь у нас осталось:

\[ \frac{-4x + 2}{2x - 1} \]

Далее можем выделить общий множитель в числителе:

\[ \frac{-2(2x - 1)}{2x - 1} \]

При \(2x - 1 \neq 0\) (а именно при \(x \neq \frac{1}{2}\)), сокращаем:

\[ -2 \]

Таким образом, значение выражения равно константе \(-2\) для всех допустимых значений \(x \neq \frac{1}{2}\), что и требовалось доказать.

b) \(\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}\)

Здесь также заметим, что \(20 - 5x = -(5x - 20)\):

\[ \frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x} = \frac{5x+1}{5x-20} - \frac{x+17}{5x-20} = \frac{(5x+1) - (x+17)}{5x-20} \]

Упрощаем числитель:

\[ (5x + 1) - (x + 17) = 5x + 1 - x - 17 = 4x - 16 = 4(x - 4) \]

Теперь у нас:

\[ \frac{4(x - 4)}{5x - 20} \]

Обратим внимание, что \(5x - 20 = 5(x - 4)\). Таким образом, можем написать:

\[ \frac{4(x - 4)}{5(x - 4)} \]

При \(x \neq 4\) (исключая деление на ноль) сокращаем:

\[ \frac{4}{5} \]

Итак, значение выражения равно постоянному значению \(\frac{4}{5}\) для всех допустимых значений \(x \neq 4\).

Таким образом, в обоих случаях мы доказали, что значения выражений не зависят от \(x\).