3. Площадь прямоугольного треугольника, вписанного в круг, равна 24 см2, а один из катетов на 2 см больше другого. Найдите площадь круга.
Для нахождения площади круга, в который вписан прямоугольный треугольник, воспользуемся следующими шагами.
Обозначим катеты треугольника. Пусть один катет равен \( x \), а другой катет, который на 2 см больше, будет равен \( x + 2 \).
Площадь прямоугольного треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \] где \( a \) и \( b \) — это катеты. Подставляем наши значения: \[ 24 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 2). \] Упрощаем уравнение: \[ 24 = \frac{1}{2} \cdot (x^2 + 2x), \] \[ 48 = x^2 + 2x. \] Приводим уравнение к стандартному виду: \[ x^2 + 2x - 48 = 0. \]
Решение квадратного уравнения. Мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196. \] Найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 14}{2}. \] Это даёт два корня: \[ x_1 = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-16}{2} = -8. \] Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, принимаем \( x = 6 \) см.
Находим длины катетов. Теперь \( x = 6 \) см, а другой катет: \[ x + 2 = 8 \text{ см}. \]
Найдём гипотенузу. Гипотенуза \( c \) вычисляется по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{x^2 + (x + 2)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}. \]
Радиус описанной окружности. Радиус \( R \) описанной окружности равен половине гипотенузы: \[ R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}. \]
Площадь круга. Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S_{круга} = \pi R^2. \] Подставим найденный радиус: \[ S_{круга} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ см}^2. \]
Таким образом, площадь круга равна \( 25\pi \text{ см}^2 \), что приблизительно равно \( 78.54 \text{ см}^2 \) (если использовать \( \pi \approx 3.14 \)).
