4. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с высотой 4 см и основанием 6 см.
Чтобы найти площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, нам нужно сначала определить радиус этого круга. Для этого воспользуемся формулой радиуса описанной окружности \( R \):
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
где \( a \) и \( b \) — стороны треугольника, \( c \) — основание, а \( S \) — площадь треугольника.
- Находим площадь треугольника \( S \). Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \]
Подставим наши значения:
\[ S = \frac{1}{2} \times 6 \, \text{см} \times 4 \, \text{см} = 12 \, \text{см}^2 \]
- Найдем длины боковых сторон \( a \) и \( b \). Для этого используем теорему Пифагора. Половина основания равнобедренного треугольника будет равна \( 3 \, \text{см} \) (половина от 6 см), высота составляет \( 4 \, \text{см} \).
По теореме Пифагора:
\[ c^2 = \left( \frac{основание}{2} \right)^2 + h^2 \]
где \( c \) — боковая сторона.
Подставим значения:
\[ a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] \[ a = \sqrt{25} = 5 \, \text{см} \]
Таким образом, боковые стороны равны \( 5 \, \text{см} \).
- Теперь можем подставить значения в формулу для радиуса \( R \). У нас есть \( a = 5 \, \text{см} \), \( b = 5 \, \text{см} \), \( c = 6 \, \text{см} \), и \( S = 12 \, \text{см}^2 \):
\[ R = \frac{5 \times 5 \times 6}{4 \times 12} \]
Вычислим:
\[ R = \frac{150}{48} = \frac{25}{8} \, \text{см} \approx 3.125 \, \text{см} \]
- Теперь найдем площадь круга \( S_{circle} \):
\[ S_{circle} = \pi R^2 \]
Подставим значение радиуса:
\[ S_{circle} \approx 3.14 \cdot \left(\frac{25}{8}\right)^2 = 3.14 \cdot \frac{625}{64} \approx 3.14 \cdot 9.765625 \approx 30.681 \]
Таким образом, площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, составляет примерно \( 30.68 \, \text{см}^2 \).
