Постройте график функции у=(х- 2)2 - 1. Укажите для этой функции: а) область определения; б) нули; b) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания (убывания); д) область изменения
Чтобы построить график функции \( y = (x - 2)^2 - 1 \) и ответить на ваши вопросы, давайте разберем каждый пункт подробно.
Область определения: Область определения функции \( y = (x - 2)^2 - 1 \) составляет все действительные числа, так как квадрат любого числа определен. Поэтому область определения: \[ D: \quad x \in \mathbb{R} \]
Нули функции: Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение \( (x - 2)^2 - 1 = 0 \). Решим: \[ (x - 2)^2 = 1 \] Берем корень из обеих сторон: \[ x - 2 = 1 \quad \text{или} \quad x - 2 = -1 \] Отсюда получаем: \[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = 1 \] Значит, нули функции: \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = 3 \]
Промежутки знакопостоянства: Мы знаем, что функция \( y = (x - 2)^2 - 1 \) представляет собой параболу, открывающуюся вверх. Значение функции минимально в вершине, которая находится в точке \( x = 2 \). Находим значение функции в этой точке: \[ y(2) = (2 - 2)^2 - 1 = -1 \] Таким образом, функция принимает значения:
- \( y < -1 \) для \( x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) \) (туда функция убывает)
- \( y \geq -1 \) для \( x \in [1, 3] \) (здесь функция возрастает)
Промежутки возрастания и убывания:
- Функция убывает на интервале \( (-\infty, 1) \) и на интервале \( (2, 3) \).
- Функция возрастает на интервале \( (1, 2) \) и на интервале \( (2, 3) \).
Область изменения: Значения функции могут изменяться от \( -1 \) (минимум, достигаемый при \( x = 2 \)) до \( +\infty \) при больших или малых значениях \( x \). Таким образом, область изменения: \[ E: \quad y \in [-1, +\infty) \]
Теперь вы можете использовать эти выводы для построения графика функции, который будет представлять собой параболу с вершиной в точке \( (2, -1) \) и проходящей через оси \( x \) в точках \( x = 1 \) и \( x = 3 \).
