1. В равнобедренную трапецию вписана окружность, диаметр которой равен 15 см. Боковая сторона трапеции равна 17 см. Найдите верхнее и нижнее основания.

Question 1

Задача Задача №1702369

А

Аноним

02 октября 2024 09:43 · публичный вопрос

А

Аноним 02 октября 2024 09:43

1. В равнобедренную трапецию вписана окружность, диаметр которой равен 15 см. Боковая сторона трапеции равна 17 см. Найдите верхнее и нижнее основания.

Answer

Равнобедренная трапеция — это такая трапеция, у которой боковые стороны равны. Если в трапецию вписана окружность, то существует важное свойство: сумма оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим верхнее основание трапеции как \( a \), а нижнее — как \( b \). Боковые стороны будут равны \( c = 17 \, \text{см} \), а радиус вписанной окружности \( r \) можно найти, зная, что диаметр окружности равен 15 см, следовательно, радиус \( r = \frac{15}{2} = 7,5 \, \text{см} \).

Согласно свойствам трапеции, мы можем записать следующее уравнение:

\[ a + b = 2c \]

Подставляя значение боковой стороны \( c \):

\[ a + b = 2 \times 17 = 34 \, \text{см} \]

Также из формулы для площади трапеции с вписанной окружностью можно выразить её площадь через радиус и полупериметр:

\[ S = r \cdot p \]

где \( p = \frac{a + b + 2c}{2} \).

Из формулы для полупериметра:

\[ p = \frac{a + b + 34}{2} \] Подставляем значение \( a + b = 34 \):

\[ p = \frac{34 + 34}{2} = 34 \, \text{см} \]

Теперь можем найти площадь трапеции \( S \):

\[ S = 7,5 \cdot 34 = 255 \, \text{см}^2 \]

Теперь нам нужно выразить площадь через основания:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \( h \) — высота. Мы можем найти высоту через радиус \( r = 7,5 \):

\[ h = 2 \cdot r = 2 \cdot 7,5 = 15 \, \text{см} \]

Теперь подставляем:

\[ 255 = \frac{(a + b) \cdot 15}{2} \]

Из этого уравнения мы можем найти \( a + b \):

\[ 255 = \frac{34 \cdot 15}{2} \]

Это уравнение верно, и следовательно, у нас уже есть равенство для оснований.

Теперь воспользуемся уравнением:

\( a + b = 34 \)
\( b - a = 2 \cdot \sqrt{c^2 - r^2} = 2 \cdot \sqrt{17^2 - 7,5^2} \)

Далее, посчитаем:

\[ 17^2 = 289, \quad 7,5^2 = 56,25 \implies c^2 - r^2 = 289 - 56,25 = 232,75 \] \[ \sqrt{232,75} \approx 15,27 \]

В итоге:

\[ b - a = 2 \cdot 15,27 \approx 30,54 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\( a + b = 34 \)
\( b - a = 30,54 \)

Сложите уравнения:

\[ 2b = 64,54 \implies b \approx 32,27 \]

Подставляя \( b \) обратно, мы найдем \( a \):

\[ a + 32,27 = 34 \implies a \approx 1,73 \]

Таким образом, верхнее основание \( a \approx 1,73 \, \text{см} \) и нижнее основание \( b \approx 32,27 \, \text{см} \).

Question 2

1. В равнобедренную трапецию вписана окружность, диаметр которой равен 15 см. Боковая сторона трапеции равна 17 см. Найдите верхнее и нижнее основания.

Answer

Равнобедренная трапеция — это такая трапеция, у которой боковые стороны равны. Если в трапецию вписана окружность, то существует важное свойство: сумма оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим верхнее основание трапеции как \( a \), а нижнее — как \( b \). Боковые стороны будут равны \( c = 17 \, \text{см} \), а радиус вписанной окружности \( r \) можно найти, зная, что диаметр окружности равен 15 см, следовательно, радиус \( r = \frac{15}{2} = 7,5 \, \text{см} \). Согласно свойствам трапеции, мы можем записать следующее уравнение: \[ a + b = 2c \] Подставляя значение боковой стороны \( c \): \[ a + b = 2 \times 17 = 34 \, \text{см} \] Также из формулы для площади трапеции с вписанной окружностью можно выразить её площадь через радиус и полупериметр: \[ S = r \cdot p \] где \( p = \frac{a + b + 2c}{2} \). Из формулы для полупериметра: \[ p = \frac{a + b + 34}{2} \] Подставляем значение \( a + b = 34 \): \[ p = \frac{34 + 34}{2} = 34 \, \text{см} \] Теперь можем найти площадь трапеции \( S \): \[ S = 7,5 \cdot 34 = 255 \, \text{см}^2 \] Теперь нам нужно выразить площадь через основания: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \( h \) — высота. Мы можем найти высоту через радиус \( r = 7,5 \): \[ h = 2 \cdot r = 2 \cdot 7,5 = 15 \, \text{см} \] Теперь подставляем: \[ 255 = \frac{(a + b) \cdot 15}{2} \] Из этого уравнения мы можем найти \( a + b \): \[ 255 = \frac{34 \cdot 15}{2} \] Это уравнение верно, и следовательно, у нас уже есть равенство для оснований. Теперь воспользуемся уравнением: 1. \( a + b = 34 \) 2. \( b - a = 2 \cdot \sqrt{c^2 - r^2} = 2 \cdot \sqrt{17^2 - 7,5^2} \) Далее, посчитаем: \[ 17^2 = 289, \quad 7,5^2 = 56,25 \implies c^2 - r^2 = 289 - 56,25 = 232,75 \] \[ \sqrt{232,75} \approx 15,27 \] В итоге: \[ b - a = 2 \cdot 15,27 \approx 30,54 \] Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( a + b = 34 \) 2. \( b - a = 30,54 \) Сложите уравнения: \[ 2b = 64,54 \implies b \approx 32,27 \] Подставляя \( b \) обратно, мы найдем \( a \): \[ a + 32,27 = 34 \implies a \approx 1,73 \] Таким образом, верхнее основание \( a \approx 1,73 \, \text{см} \) и нижнее основание \( b \approx 32,27 \, \text{см} \).