В треугольнике A B C дано: A B = 11 , 16 ⋅ √ 6 , ∠ B = 45 0 , ∠ C = 60 0 . Найдите сторону A C .

Для нахождения стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \), где даны следующие параметры: \( AB = 11 \cdot 16 \sqrt{6} \), \( \angle B = 45° \), и \( \angle C = 60° \), мы можем воспользоваться теоремой синусов.

Сначала найдем угол \( A \). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, следовательно:

\[ \angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 45° - 60° = 75°. \]

Теперь, используя теорему синусов, мы можем записать следующее соотношение:

\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin A}. \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{\sin 45°} = \frac{11 \cdot 16 \sqrt{6}}{\sin 75°}. \]

Зная, что \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cdot \cos 30° + \cos 45° \cdot \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).

Теперь мы можем подставить значения:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{11 \cdot 16 \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}. \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 11 \cdot 16 \sqrt{6} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. \]

Умножая обе стороны на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем:

\[ AC = \frac{11 \cdot 16 \sqrt{6} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}}{2}. \]

Теперь упростим:

\[ AC = \frac{11 \cdot 32 \sqrt{12} }{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. \]

Это выражение можно дополнительно упростить. Извлекая корень из 12, мы получаем:

\[ AC = \frac{11 \cdot 32 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{704 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. \]

Таким образом, сторона \( AC \) в треугольнике \( ABC \) равна \( \frac{704 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \).