В треугольнике A B C дано: A B = 11 , 16 ⋅ √ 6 , ∠ B = 45 0 , ∠ C = 60 0 . Найдите сторону A C .

Для решения задачи о нахождении стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) мы можем воспользоваться теоремой синусов, которая утверждает, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла для всех сторон треугольника равно одной и той же константе.

Дано:

• Сторона \( AB = 11\sqrt{6} \)
• Угол \( B = 45^\circ \)
• Угол \( C = 60^\circ \)

Сначала найдем угол \( A \): \[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ. \]

Теперь можем записать соотношения, используя теорему синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}. \]

Подставим известные значения: \[ \frac{11\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ}. \]

Значения синусов: \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Теперь подставим эти значения в уравнение: \[ \frac{11\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]

Упрощаем: \[ \frac{11\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{3}} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}. \]

Теперь упростим это выражение: \[ \frac{22\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}. \]

Переписываем его: \[ AC = \frac{22\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Упрощаем: \[ AC = 11 \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. \]

Теперь можем записать окончательный ответ: \[ AC = \frac{11\sqrt{12}}{\sqrt{3}}. \] Поскольку \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), подставим это значение: \[ AC = \frac{11 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 22. \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) равна \( 22 \).