Дан треугольник АВС АС=10,2 см; угол В=30°; угол С=45° Найди сторону АВ (Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня)
Для решения данной задачи воспользуемся теорией треугольников и формулой синусов. В треугольнике ABC у нас есть следующие данные: длина стороны AC = 10.2 см, угол B = 30°, угол C = 45°. Нам нужно найти сторону AB.
Сначала найдем угол A. В треугольнике сумма углов равна 180°:
\( A + B + C = 180° \)
Подставим известные значения:
\( A + 30° + 45° = 180° \)
Теперь решим уравнение:
\( A + 75° = 180° \)
\( A = 180° - 75° = 105° \)
Теперь мы можем использовать закон синусов, который гласит:
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
где:
- \( a = BC \),
- \( b = AC = 10.2 \) см,
- \( c = AB \),
- \( A = 105° \),
- \( B = 30° \),
- \( C = 45° \).
Мы можем написать:
\(\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}\)
Подставим известные значения:
\(\frac{AB}{\sin 45°} = \frac{10.2}{\sin 30°}\)
Зная, что \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), подставим их в уравнение:
\(\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10.2}{\frac{1}{2}}\)
Упростим правую часть:
\(\frac{10.2}{\frac{1}{2}} = 10.2 \cdot 2 = 20.4\)
Теперь у нас есть:
\(\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 20.4\)
Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(AB = 20.4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10.2\sqrt{2}\)
Теперь упрощаем нашу находку до наименьшего натурального числа под знаком корня:
\(AB = 10.2\sqrt{2}\)
Поскольку 10.2 не является натуральным числом, давайте округлим это значение. Для дальнейших расчетов это значение может быть представлено как:
\(AB \approx 10\sqrt{2}\) (округляя 10.2 до 10).
Таким образом, сторона AB будет равно \(10\sqrt{2}\), что является требуемым ответом.
