X-2y+3z=6 2x+3y-4z=20 3x-2y-5z=6 методом Гаусса

Чтобы решить систему уравнений методом Гаусса, нам нужно привести матрицу коэффициентов к верхне-треугольному виду и решить её. Начнём с представления системы уравнений в виде расширенной матрицы.

Система уравнений:

1. \(x - 2y + 3z = 6\)
2. \(2x + 3y - 4z = 20\)
3. \(3x - 2y - 5z = 6\)

Расширенная матрица будет выглядеть так:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 6 \\ 2 & 3 & -4 & | & 20 \\ 3 & -2 & -5 & | & 6 \end{pmatrix} \]

Теперь применим метод Гаусса, чтобы привести матрицу к верхне-треугольному виду.

1. Нормализация первого уравнения: Мы оставим первое уравнение без изменений.

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 6 \\ 2 & 3 & -4 & | & 20 \\ 3 & -2 & -5 & | & 6 \end{pmatrix} \]

2. Исключим переменную \(x\) из второго и третьего уравнения. Для этого вычтем 2 первое уравнение из второго и 3 первое из третьего.

• Для второго уравнения: \[ 2 - 2 \cdot 1 = 0, \quad 3 - 2 \cdot (-2) = 7, \quad -4 - 2 \cdot 3 = -10, \quad 20 - 2 \cdot 6 = 8 \] Итак, второе уравнение меняется на: \[ 0x + 7y - 10z = 8 \]

• Для третьего уравнения: \[ 3 - 3 \cdot 1 = 0, \quad -2 - 3 \cdot (-2) = 4, \quad -5 - 3 \cdot 3 = -14, \quad 6 - 3 \cdot 6 = -12 \] Так что третье уравнение теперь: \[ 0x + 4y - 14z = -12 \]

Теперь матрица выглядит так:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 7 & -10 & | & 8 \\ 0 & 4 & -14 & | & -12 \end{pmatrix} \]

3. Далее будем работать с матрицей, чтобы исключить \(y\) из третьего уравнения. Для этого умножим второе уравнение на \( \frac{4}{7} \) и вычтем его из третьего уравнения:

• Умножаем второе уравнение на \( \frac{4}{7} \): \[ 0 + 4y - \frac{40}{7}z = \frac{32}{7} \]

Теперь вычитаем полученное уравнение из третьего: \[ 0y + (-14 + \frac{40}{7})z = -12 - \frac{32}{7} \] \[ 0y - \left(14 - \frac{40}{7}\right)z = -12 - \frac{32}{7} \] Соберем в одно уравнение: \[ 0y - \frac{58}{7}z = -\frac{116}{7} - \frac{32}{7} \implies 0y - \frac{58}{7}z = -\frac{148}{7} \]

Теперь матрица выглядит так:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 7 & -10 & | & 8 \\ 0 & 0 & z & | & 4 \end{pmatrix} \]

4. Решим последнее уравнение: \(7y - 10z = 8\) и \(z = 4\).

Теперь подставим \(z\) обратно, чтобы найти \(y\): \[ 7y - 10(4) = 8 \implies 7y - 40 = 8 \implies 7y = 48 \implies y = \frac{48}{7} \]

5. Теперь подставим \(y\) и \(z\) в первое уравнение для нахождения \(x\): \[ x - 2\left(\frac{48}{7}\right) + 3(4) = 6 \implies x - \frac{96}{7} + 12 = 6 \] Приведем к общему знаменателю: \[ x - \frac{96}{7} + \frac{84}{7} = \frac{42}{7} \implies x - \frac{12}{7} = \frac{42}{7} \] Теперь: \[ x = \frac{12}{7} + \frac{42}{7} = \frac{54}{7} \]

Таким образом, решением системы уравнений являются: \[ x = \frac{54}{7}, \, y = \frac{48}{7}, \, z = 4. \]