4^x-17*2^x+16=0

Чтобы решить уравнение \(4^x - 17 \cdot 2^x + 16 = 0\), мы сначала заметим, что \(4^x\) можно переписать как \((2^2)^x = (2^x)^2\). Обозначим \(y = 2^x\). Тогда уравнение преобразуется в:

\[ y^2 - 17y + 16 = 0 \]

Теперь это квадратное уравнение в стандартной форме \(ay^2 + by + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -17\) и \(c = 16\). Чтобы найти корни этого уравнения, воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\):

\[ y = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{2} \] \[ y = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{2} \] \[ y = \frac{17 \pm 15}{2} \]

Теперь вычислим два возможных значения для \(y\):

1. \(y = \frac{32}{2} = 16\)
2. \(y = \frac{2}{2} = 1\)

Теперь вернемся к выражению для \(y\):

1. Если \(y = 16\), то \(2^x = 16\). Значит, \(2^x = 2^4\), поэтому \(x = 4\).
2. Если \(y = 1\), то \(2^x = 1\). Значит, \(2^x = 2^0\), поэтому \(x = 0\).

Таким образом, у нас два решения: \(x = 4\) и \(x = 0\).