Площадь прямоугольного треугольника равна 65 один из его катетов на 3 больше другого найдите меньший катет

Для нахождения меньшего катета прямоугольного треугольника, давайте обозначим его как \( x \). Тогда больший катет будет равен \( x + 3 \).

Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b, \]

где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника. В нашем случае площадь \( S = 65 \). Подставим значения катетов в формулу:

\[ 65 = \frac{1}{2} \times x \times (x + 3). \]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 130 = x \times (x + 3). \]

Раскроем скобки:

\[ 130 = x^2 + 3x. \]

Переносим все в одну сторону уравнения:

\[ x^2 + 3x - 130 = 0. \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для его решения можем использовать дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \( a = 1 \), \( b = 3 \), и \( c = -130 \):

\[ D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-130) = 9 + 520 = 529. \]

Теперь найдем корни уравнения по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \]

подставляя найденные значения:

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{529}}{2 \times 1} = \frac{-3 \pm 23}{2}. \]

Решим это уравнение:

1. \( x = \frac{20}{2} = 10 \)
2. \( x = \frac{-26}{2} = -13 \) (отрицательное значение не подходит, так как длина катета не может быть отрицательной).

Таким образом, меньший катет равен \( 10 \).

Итак, меньший катет прямоугольного треугольника составляет 10 единиц.