Вычислить производную функцию y=5cosx+4x⁵-6^x+26,y=5-20x+5√x^9,y=sinx*e^x,y=5+x/ctgx,y=11/x⁸-15lnx
Давайте рассмотрим, как вычислить производные для каждой из заданных функций.
- Для функции \( y = 5 \cos x + 4x^5 - 6^x + 26 \):
Применим правила дифференцирования:
- Производная \( \cos x \) равна \( -\sin x \).
- Производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \).
- Производная \( a^x \) (где \( a \) — константа) равна \( a^x \ln(a) \).
- Производная константы (в данном случае \( 26 \) и \( 5 \)) равна \( 0 \).
Итак, производная будет: \[ y' = -5 \sin x + 20 x^4 - 6^x \ln(6) \]
- Для функции \( y = 5 - 20x + 5\sqrt{x^9} \):
Сначала упростим \( \sqrt{x^9} = x^{9/2} \). Тогда, производная будет:
- \( 5 \) — константа, её производная равна \( 0 \).
- Производная \( -20x \) равна \( -20 \).
- Производная \( 5x^{9/2} \) равна \( \frac{45}{2} x^{7/2} \) (так как \( \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \)).
Следовательно, производная: \[ y' = -20 + \frac{45}{2} x^{7/2} \]
- Для функции \( y = \sin x \cdot e^x \):
Применим правило произведения: Если \( y = u \cdot v \), то \( y' = u'v + uv' \), где \( u = \sin x \) и \( v = e^x \).
- \( u' = \cos x \)
- \( v' = e^x \)
Таким образом, производная будет: \[ y' = \cos x \cdot e^x + \sin x \cdot e^x = e^x (\cos x + \sin x) \]
- Для функции \( y = 5 + \frac{x}{\cot x} \):
Мы можем записать \( \cot x \) как \( \frac{\cos x}{\sin x} \), так что: \[ y = 5 + x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 5 + x \tan x \] Используем правило произведения: \[ y' = 0 + \left( \tan x + x \sec^2 x \right) \]
- Для функции \( y = \frac{11}{x^8} - 15 \ln x \):
Здесь можно переписать первую часть как \( 11x^{-8} \):
- Производная \( 11x^{-8} \) равна \( -88x^{-9} \) (используя \( \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \)).
- Производная \( -15 \ln x \) равна \( -\frac{15}{x} \).
Следовательно, производная будет: \[ y' = -88x^{-9} - \frac{15}{x} \]
Таким образом, для каждой функции мы получили её производную. Если у вас есть дополнительные вопросы по теме производных или другим математическим вопросам, не стесняйтесь задавать!
