Среднее арифметическое трëх чисел равно двум целым одной четвёртой. первое число в одну целую одну третью меньше второго, второе - на одну целую одну четвёртую меньше третьего. найдите эти числа

Для решения задачи начнем с того, что обозначим числа, которые нам нужно найти:

Пусть первое число – \(x\), второе число – \(y\), а третье число – \(z\).

Согласно условию, среднее арифметическое трех чисел равно двум целым одной четвёртой, что можно записать как:

\[ \frac{x + y + z}{3} = 2 + \frac{1}{4} \]

Умножим обе стороны уравнения на 3:

\[ x + y + z = 3 \times \left(2 + \frac{1}{4}\right) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24}{4} + \frac{3}{4} = \frac{27}{4} \]

Теперь в нашем распоряжении первое уравнение:

\[ x + y + z = \frac{27}{4} \quad (1) \]

Далее, согласно условию, первое число \(x\) на одну целую одну третью меньше второго \(y\):

\[ x = y - 1 - \frac{1}{3} = y - \frac{4}{3} \quad (2) \]

Также второе число \(y\) на одну целую одну четвёртую меньше третьего \(z\):

\[ y = z - 1 - \frac{1}{4} = z - \frac{5}{4} \quad (3) \]

Теперь мы можем подставить выражения (2) и (3) в уравнение (1). Сначала подставим (3) в (1):

\[ x + (z - \frac{5}{4}) + z = \frac{27}{4} \]

Теперь подставим (2):

\[ (y - \frac{4}{3}) + (z - \frac{5}{4}) + z = \frac{27}{4} \]

Заменим \(y\) выражением из (3):

\[ ((z - \frac{5}{4}) - \frac{4}{3}) + (z - \frac{5}{4}) + z = \frac{27}{4} \]

Теперь преобразуем:

\[ (z - \frac{5}{4} - \frac{4}{3}) + (z - \frac{5}{4}) + z = \frac{27}{4} \]

Найдем общий знаменатель для \( -\frac{5}{4} - \frac{4}{3} \). Общий знаменатель будет 12:

\[ -\frac{5}{4} = -\frac{15}{12}, \quad -\frac{4}{3} = -\frac{16}{12} \]

Таким образом, суммируем:

\[ -\frac{15}{12} - \frac{16}{12} = -\frac{31}{12} \]

Теперь подставляем всё обратно:

\[ (3z - \frac{31}{12}) = \frac{27}{4} \]

Преобразуем \(\frac{27}{4}\) к общему знаменателю 12:

\[ \frac{27}{4} = \frac{81}{12} \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ 3z - \frac{31}{12} = \frac{81}{12} \]

Добавим \(\frac{31}{12}\) к обеим сторонам:

\[ 3z = \frac{81}{12} + \frac{31}{12} = \frac{112}{12} \]

Теперь делим обе стороны на 3:

\[ z = \frac{112}{36} = \frac{28}{9} \]

Теперь найдем \(y\) и \(x\):

Подставим значение \(z\) в (3):

\[ y = \frac{28}{9} - \frac{5}{4} \]

Найдем общий знаменатель (36):

\[ \frac{28}{9} = \frac{112}{36}, \quad -\frac{5}{4} = -\frac{45}{36} \]

Теперь:

\[ y = \frac{112}{36} - \frac{45}{36} = \frac{67}{36} \]

Теперь найдём \(x\) по выражению (2):

\[ x = \frac{67}{36} - \frac{4}{3} = \frac{67}{36} - \frac{48}{36} = \frac{19}{36} \]

Итак, все три числа:

1. \(x = \frac{19}{36}\)
2. \(y = \frac{67}{36}\)
3. \(z = \frac{28}{9}\)

Таким образом, искомые числа: \(\frac{19}{36}\), \(\frac{67}{36}\) и \(\frac{28}{9}\).