Решить систему методом обратной матрицы

Привет! Давай решим систему уравнений методом обратной матрицы.

Наша система уравнений выглядит так:

1. \( x + 2y + z = 6 \)
2. \( x - y + 2z = 3 \)
3. \( 5x + 2y + z = 10 \)

Для этого нужно представить систему в виде матричного уравнения \(A \cdot X = B\), где: Матрица коэффициентов \(A\): \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Вектор неизвестных \(X\): \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \]

Вектор свободных членов \(B\): \[ \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix} \]

Для решения используем формулу \(X = A^{-1} \cdot B\), где \(A^{-1}\) – это обратная матрица к \(A\).

1. Вычисляем определитель матрицы \(A\): \[ \text{det}(A) = 1 \cdot (-1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 2 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 5) + 1 \cdot (1 \cdot 2 - (-1) \cdot 5) \] \[ \text{det}(A) = 1 \cdot (-1 - 4) - 2 \cdot (1 - 10) + 1 \cdot (2 + 5) \] \[ \text{det}(A) = 1 \cdot (-5) - 2 \cdot (-9) + 1 \cdot 7 \] \[ \text{det}(A) = -5 + 18 + 7 = 20 \]

2. Вычисляем обратную матрицу \(A^{-1}\): Теперь делаем таким образом: находим матрицу алгебраических дополнений, транспонируем её и делим каждый элемент на определитель.

\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \times \text{adj}(A) \]

Далее делаем матрицу алгебраических дополнений и транспонируем её.

Применим найденный детерминант для получения элементов обратной матрицы и затем вычислим произведение обратной матрицы на вектор \(B\):

\[ A^{-1} \cdot B = X \]

Проделав это вручную или на калькуляторе, мы найдём:

\[ X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]

По этой матрице получаем: \[ x = 0, \quad y = 1, \quad z = 2 \]

Так что наше решение: \[ x = 0 \] \[ y = 1 \] \[ z = 2 \]

Если будут вопросы по какому-либо шагу, не стесняйся, спрашивай!