В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найти периметр трапеции
В равнобедренной трапеции давайте обозначим параметры для удобства:
- Пусть меньшее основание равно \(a\) см, боковая сторона равна \(b\) см, а большее основание равно \(c = 10\) см.
- Угол при основании равен \(70^\circ\).
Из условия задачи мы знаем, что \(a = b\). Таким образом, \(a = b = x\).
Для нахождения периметра трапеции воспользуемся формулой периметра \(P = a + b + c + d\), где \(a\) и \(b\) — это основания, а \(c\) и \(d\) — боковые стороны. В данном случае, так как боковые стороны равны, подставим в формулу:
\[ P = x + x + 10 + x = 3x + 10 \]
Теперь нужно определить величину \(x\). Для этого воспользуемся свойствами треугольника, образованного боковой стороной, перпендикуляром от вершины меньшего основания до большего основания и отрезком, который делит большее основание на две равные части.
Найдём высоту \(h\): Воспользуемся тригонометрией. Мы можем выделить прямоугольный треугольник, где боковая сторона \(x\) является гипотенузой, высота \(h\) — противолежащим катетом, а половина разности оснований \( \frac{c - a}{2} = \frac{10 - x}{2} \) — прилежащим катетом. Используя угол \(70^\circ\):
\[ \sin(70^\circ) = \frac{h}{x} \quad \Rightarrow \quad h = x \cdot \sin(70^\circ) \]
\[ \cos(70^\circ) = \frac{\frac{10 - x}{2}}{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{10 - x}{2} = x \cdot \cos(70^\circ) \]
Упростим второе уравнение:
\[ 10 - x = 2x \cdot \cos(70^\circ) \]
\[ 10 = x + 2x \cdot \cos(70^\circ) \]
\[ 10 = x(1 + 2\cos(70^\circ)) \]
Теперь решим для \(x\):
\[ x = \frac{10}{1 + 2\cos(70^\circ)} \]
Вычислим значение \(x\): Приблизительно \(\cos(70^\circ) \approx 0.342\):
\[ x \approx \frac{10}{1 + 2 \cdot 0.342} \approx \frac{10}{1 + 0.684} \approx \frac{10}{1.684} \approx 5.94 \text{ см} \]
Находим периметр \(P\): Подставим значение \(x\) в формулу периметра:
\[ P = 3x + 10 \approx 3 \cdot 5.94 + 10 \approx 17.82 + 10 \approx 27.82 \text{ см} \]
Таким образом, периметр равнобедренной трапеции составляет приблизительно \(27.82\) см.
