В треугольнике АВС медиана АМ продолжена за точку М до точки Р на расстоянии , равное АМ , так что АМ=МD.Докажите, что четырехугольник АBDC-параллелограмм
Рассмотрим треугольник \( ABC \) с медианой \( AM \), которая соединяет вершину \( A \) с серединой стороны \( BC \) в точке \( M \). По условию, медиана \( AM \) продолжена до точки \( P \), так что \( AM = MD \).
Поскольку \( M \) - это середина стороны \( BC \), это означает, что отрезки \( BM \) и \( MC \) равны (то есть \( BM = MC \)).
Теперь обратим внимание на четырехугольник \( ABMD \). Чтобы доказать, что четырехугольник \( ABDC \) является параллелограммом, нам нужно показать, что его противоположные стороны равны или параллельны.
- Рассмотрим треугольники \( AMB \) и \( DMC \).
- У нас есть, что \( AM = MD \) (по условию задачи).
- Также, поскольку \( M \) - середина, то \( BM = MC \).
- Углы \( \angle AMB \) и \( \angle DMC \) являются вертикальными углами, следовательно, они равны.
По этим причинам треугольники \( AMB \) и \( DMC \) равны по стороной, углу, стороне (SAS).
- Если треугольники равны, то соответствующие стороны равны:
- \( AB = DC \)
- \( AD = BC \)
Таким образом, мы можем заключить, что стороны \( AB \) и \( DC \) равны, а также стороны \( AD \) и \( BC \) также равны.
Согласно свойству параллелограмма, если в четырехугольнике две пары противоположных сторон равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Следовательно, четырехугольник \( ABDC \) - это параллелограмм, что и требовалось доказать.
